Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31581 / 38840
↖ ↑ ↗
← S 31.615966°
W  6.520386°		 ← 520.14 m → S 31.615966°
W  6.514893°		 →
↑
520.13 m
↓
↑
520.13 m
↓
S 31.620643°
W  6.520386°		 ← 520.11 m →
270 530 m²		 S 31.620643°
W  6.514893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481895446777344 y=0.592658996582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481895446777344 × 216)
    floor (0.481895446777344 × 65536)
    floor (31581.5)     		tx = 31581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592658996582031 × 216)
    floor (0.592658996582031 × 65536)
    floor (38840.5)     		ty = 38840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31581 / 38840 ti = "16/31581/38840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31581/38840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31581 ÷ 216
    31581 ÷ 65536     		x = 0.481887817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38840 ÷ 216
    38840 ÷ 65536     		y = 0.5926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481887817382812 × 2 - 1) × π
    -0.036224365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11380220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5926513671875 × 2 - 1) × π
    -0.185302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.582145708985962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11380220} λ = -0.11380220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582145708985962))-π/2
    2×atan(0.558698275592471)-π/2
    2×0.509496812509593-π/2
    1.01899362501919-1.57079632675     		φ = -0.55180270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11380220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.520386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55180270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.615966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31581 KachelY 38840 -0.11380220 -0.55180270 -6.520386 -31.615966
    Oben rechts KachelX + 1 31582 KachelY 38840 -0.11370633 -0.55180270 -6.514893 -31.615966
    Unten links KachelX 31581 KachelY + 1 38841 -0.11380220 -0.55188434 -6.520386 -31.620643
    Unten rechts KachelX + 1 31582 KachelY + 1 38841 -0.11370633 -0.55188434 -6.514893 -31.620643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55180270--0.55188434) × R
    8.16399999999939e-05 × 6371000     		dl = 520.128439999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55180270--0.55188434) × R
    8.16399999999939e-05 × 6371000     		dr = 520.128439999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11380220--0.11370633) × cos(-0.55180270) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.851580889066527 × 6371000     		do = 520.135192207625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11380220--0.11370633) × cos(-0.55188434) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.851538088644574 × 6371000     		du = 520.109050233345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55180270)-sin(-0.55188434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851580889066527-0.851538088644574)×R²
    abs(-0.11370633--0.11380220)×4.28004219532596e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.28004219532596e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.28004219532596e-05×40589641000000     		ar = 270530.307670185m²