Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31576 / 38715
↖ ↑ ↗
← S 31.029401°
W  6.547852°		 ← 523.44 m → S 31.029401°
W  6.542358°		 →
↑
523.38 m
↓
↑
523.38 m
↓
S 31.034108°
W  6.547852°		 ← 523.41 m →
273 950 m²		 S 31.034108°
W  6.542358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481819152832031 y=0.590751647949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481819152832031 × 216)
    floor (0.481819152832031 × 65536)
    floor (31576.5)     		tx = 31576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590751647949219 × 216)
    floor (0.590751647949219 × 65536)
    floor (38715.5)     		ty = 38715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31576 / 38715 ti = "16/31576/38715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31576/38715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31576 ÷ 216
    31576 ÷ 65536     		x = 0.4818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38715 ÷ 216
    38715 ÷ 65536     		y = 0.590744018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11428157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590744018554688 × 2 - 1) × π
    -0.181488037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.570161484080948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11428157} λ = -0.11428157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570161484080948))-π/2
    2×atan(0.565434122717053)-π/2
    2×0.514615554137862-π/2
    1.02923110827572-1.57079632675     		φ = -0.54156522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11428157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.547852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54156522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.029401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31576 KachelY 38715 -0.11428157 -0.54156522 -6.547852 -31.029401
    Oben rechts KachelX + 1 31577 KachelY 38715 -0.11418569 -0.54156522 -6.542358 -31.029401
    Unten links KachelX 31576 KachelY + 1 38716 -0.11428157 -0.54164737 -6.547852 -31.034108
    Unten rechts KachelX + 1 31577 KachelY + 1 38716 -0.11418569 -0.54164737 -6.542358 -31.034108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54156522--0.54164737) × R
    8.21500000000031e-05 × 6371000     		dl = 523.377650000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54156522--0.54164737) × R
    8.21500000000031e-05 × 6371000     		dr = 523.377650000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11428157--0.11418569) × cos(-0.54156522) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.85690289509967 × 6371000     		do = 523.440401687878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11428157--0.11418569) × cos(-0.54164737) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.856860545701725 × 6371000     		du = 523.414532495466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54156522)-sin(-0.54164737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85690289509967-0.856860545701725)×R²
    abs(-0.11418569--0.11428157)×4.23493979446743e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.23493979446743e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.23493979446743e-05×40589641000000     		ar = 273950.237825991m²