Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31575 / 38714
↖ ↑ ↗
← S 31.024694°
W  6.553345°		 ← 523.41 m → S 31.024694°
W  6.547852°		 →
↑
523.44 m
↓
↑
523.44 m
↓
S 31.029401°
W  6.553345°		 ← 523.39 m →
273 969 m²		 S 31.029401°
W  6.547852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481803894042969 y=0.590736389160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481803894042969 × 216)
    floor (0.481803894042969 × 65536)
    floor (31575.5)     		tx = 31575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590736389160156 × 216)
    floor (0.590736389160156 × 65536)
    floor (38714.5)     		ty = 38714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31575 / 38714 ti = "16/31575/38714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31575/38714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31575 ÷ 216
    31575 ÷ 65536     		x = 0.481796264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38714 ÷ 216
    38714 ÷ 65536     		y = 0.590728759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481796264648438 × 2 - 1) × π
    -0.036407470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11437744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590728759765625 × 2 - 1) × π
    -0.18145751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.570065610281708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11437744} λ = -0.11437744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570065610281708))-π/2
    2×atan(0.565488335633376)-π/2
    2×0.514656632420972-π/2
    1.02931326484194-1.57079632675     		φ = -0.54148306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11437744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.553345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54148306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.024694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31575 KachelY 38714 -0.11437744 -0.54148306 -6.553345 -31.024694
    Oben rechts KachelX + 1 31576 KachelY 38714 -0.11428157 -0.54148306 -6.547852 -31.024694
    Unten links KachelX 31575 KachelY + 1 38715 -0.11437744 -0.54156522 -6.553345 -31.029401
    Unten rechts KachelX + 1 31576 KachelY + 1 38715 -0.11428157 -0.54156522 -6.547852 -31.029401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54148306--0.54156522) × R
    8.21599999999423e-05 × 6371000     		dl = 523.441359999632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54148306--0.54156522) × R
    8.21599999999423e-05 × 6371000     		dr = 523.441359999632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11437744--0.11428157) × cos(-0.54148306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856945243868775 × 6371000     		do = 523.411674514704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11437744--0.11428157) × cos(-0.54156522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85690289509967 × 6371000     		du = 523.38580840446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54148306)-sin(-0.54156522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856945243868775-0.85690289509967)×R²
    abs(-0.11428157--0.11437744)×4.23487691051383e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.23487691051383e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.23487691051383e-05×40589641000000     		ar = 273968.549205825m²