Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31572 / 15092
↖ ↑ ↗
← N 69.185993°
W  6.569824°		 ← 217.03 m → N 69.185993°
W  6.564331°		 →
↑
217.06 m
↓
↑
217.06 m
↓
N 69.184041°
W  6.569824°		 ← 217.05 m →
47 112 m²		 N 69.184041°
W  6.564331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481758117675781 y=0.230293273925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481758117675781 × 216)
    floor (0.481758117675781 × 65536)
    floor (31572.5)     		tx = 31572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230293273925781 × 216)
    floor (0.230293273925781 × 65536)
    floor (15092.5)     		ty = 15092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31572 / 15092 ti = "16/31572/15092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31572/15092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31572 ÷ 216
    31572 ÷ 65536     		x = 0.48175048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15092 ÷ 216
    15092 ÷ 65536     		y = 0.23028564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48175048828125 × 2 - 1) × π
    -0.0364990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11466506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23028564453125 × 2 - 1) × π
    0.5394287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69466527536823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11466506} λ = -0.11466506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69466527536823))-π/2
    2×atan(5.44482314373633)-π/2
    2×1.38915985480406-π/2
    2.77831970960812-1.57079632675     		φ = 1.20752338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11466506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.569824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20752338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.185993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31572 KachelY 15092 -0.11466506 1.20752338 -6.569824 69.185993
    Oben rechts KachelX + 1 31573 KachelY 15092 -0.11456919 1.20752338 -6.564331 69.185993
    Unten links KachelX 31572 KachelY + 1 15093 -0.11466506 1.20748931 -6.569824 69.184041
    Unten rechts KachelX + 1 31573 KachelY + 1 15093 -0.11456919 1.20748931 -6.564331 69.184041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20752338-1.20748931) × R
    3.40700000001082e-05 × 6371000     		dl = 217.059970000689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20752338-1.20748931) × R
    3.40700000001082e-05 × 6371000     		dr = 217.059970000689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11466506--0.11456919) × cos(1.20752338) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355335481504743 × 6371000     		do = 217.034566350154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11466506--0.11456919) × cos(1.20748931) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355367327850723 × 6371000     		du = 217.054017708797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20752338)-sin(1.20748931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355335481504743-0.355367327850723)×R²
    abs(-0.11456919--0.11466506)×3.18463459799689e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18463459799689e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18463459799689e-05×40589641000000     		ar = 47111.6275210874m²