Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31570 / 13723
↖ ↑ ↗
← N 71.699919°
W  6.580810°		 ← 191.78 m → N 71.699919°
W  6.575318°		 →
↑
191.83 m
↓
↑
191.83 m
↓
N 71.698194°
W  6.580810°		 ← 191.80 m →
36 792 m²		 N 71.698194°
W  6.575318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481727600097656 y=0.209403991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481727600097656 × 216)
    floor (0.481727600097656 × 65536)
    floor (31570.5)     		tx = 31570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209403991699219 × 216)
    floor (0.209403991699219 × 65536)
    floor (13723.5)     		ty = 13723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31570 / 13723 ti = "16/31570/13723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31570/13723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31570 ÷ 216
    31570 ÷ 65536     		x = 0.481719970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13723 ÷ 216
    13723 ÷ 65536     		y = 0.209396362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481719970703125 × 2 - 1) × π
    -0.03656005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11485681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209396362304688 × 2 - 1) × π
    0.581207275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82591650652794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11485681} λ = -0.11485681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82591650652794))-π/2
    2×atan(6.20848252715235)-π/2
    2×1.41109799144025-π/2
    2.8221959828805-1.57079632675     		φ = 1.25139966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11485681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.580810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25139966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.699919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31570 KachelY 13723 -0.11485681 1.25139966 -6.580810 71.699919
    Oben rechts KachelX + 1 31571 KachelY 13723 -0.11476094 1.25139966 -6.575318 71.699919
    Unten links KachelX 31570 KachelY + 1 13724 -0.11485681 1.25136955 -6.580810 71.698194
    Unten rechts KachelX + 1 31571 KachelY + 1 13724 -0.11476094 1.25136955 -6.575318 71.698194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25139966-1.25136955) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dl = 191.830809999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25139966-1.25136955) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dr = 191.830809999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11485681--0.11476094) × cos(1.25139966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313993798150838 × 6371000     		do = 191.783571766376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11485681--0.11476094) × cos(1.25136955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314022385196265 × 6371000     		du = 191.801032384103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25139966)-sin(1.25136955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313993798150838-0.314022385196265)×R²
    abs(-0.11476094--0.11485681)×2.85870454267978e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85870454267978e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85870454267978e-05×40589641000000     		ar = 36791.6726616388m²