Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31569 / 38718
↖ ↑ ↗
← S 31.043521°
W  6.586304°		 ← 523.36 m → S 31.043521°
W  6.580810°		 →
↑
523.31 m
↓
↑
523.31 m
↓
S 31.048228°
W  6.586304°		 ← 523.34 m →
273 876 m²		 S 31.048228°
W  6.580810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481712341308594 y=0.590797424316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481712341308594 × 216)
    floor (0.481712341308594 × 65536)
    floor (31569.5)     		tx = 31569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590797424316406 × 216)
    floor (0.590797424316406 × 65536)
    floor (38718.5)     		ty = 38718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31569 / 38718 ti = "16/31569/38718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31569/38718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31569 ÷ 216
    31569 ÷ 65536     		x = 0.481704711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38718 ÷ 216
    38718 ÷ 65536     		y = 0.590789794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481704711914062 × 2 - 1) × π
    -0.036590576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11495269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590789794921875 × 2 - 1) × π
    -0.18157958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.570449105478668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11495269} λ = -0.11495269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570449105478668))-π/2
    2×atan(0.565271515150187)-π/2
    2×0.514492331469674-π/2
    1.02898466293935-1.57079632675     		φ = -0.54181166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11495269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.586304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54181166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.043521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31569 KachelY 38718 -0.11495269 -0.54181166 -6.586304 -31.043521
    Oben rechts KachelX + 1 31570 KachelY 38718 -0.11485681 -0.54181166 -6.580810 -31.043521
    Unten links KachelX 31569 KachelY + 1 38719 -0.11495269 -0.54189380 -6.586304 -31.048228
    Unten rechts KachelX + 1 31570 KachelY + 1 38719 -0.11485681 -0.54189380 -6.580810 -31.048228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54181166--0.54189380) × R
    8.21399999999528e-05 × 6371000     		dl = 523.313939999699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54181166--0.54189380) × R
    8.21399999999528e-05 × 6371000     		dr = 523.313939999699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11495269--0.11485681) × cos(-0.54181166) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.856775834715127 × 6371000     		do = 523.36278666393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11495269--0.11485681) × cos(-0.54189380) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.856733473128452 × 6371000     		du = 523.336910026015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54181166)-sin(-0.54189380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856775834715127-0.856733473128452)×R²
    abs(-0.11485681--0.11495269)×4.23615866743665e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.23615866743665e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.23615866743665e-05×40589641000000     		ar = 273876.271289687m²