Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31567 / 13733
↖ ↑ ↗
← N 71.682663°
W  6.597290°		 ← 191.96 m → N 71.682663°
W  6.591797°		 →
↑
191.96 m
↓
↑
191.96 m
↓
N 71.680936°
W  6.597290°		 ← 191.98 m →
36 850 m²		 N 71.680936°
W  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481681823730469 y=0.209556579589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481681823730469 × 216)
    floor (0.481681823730469 × 65536)
    floor (31567.5)     		tx = 31567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209556579589844 × 216)
    floor (0.209556579589844 × 65536)
    floor (13733.5)     		ty = 13733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31567 / 13733 ti = "16/31567/13733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31567/13733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31567 ÷ 216
    31567 ÷ 65536     		x = 0.481674194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13733 ÷ 216
    13733 ÷ 65536     		y = 0.209548950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481674194335938 × 2 - 1) × π
    -0.036651611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11514443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209548950195312 × 2 - 1) × π
    0.580902099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82495776853554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11514443} λ = -0.11514443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82495776853554))-π/2
    2×atan(6.2025330715187)-π/2
    2×1.41094740402322-π/2
    2.82189480804645-1.57079632675     		φ = 1.25109848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11514443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.597290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25109848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.682663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31567 KachelY 13733 -0.11514443 1.25109848 -6.597290 71.682663
    Oben rechts KachelX + 1 31568 KachelY 13733 -0.11504856 1.25109848 -6.591797 71.682663
    Unten links KachelX 31567 KachelY + 1 13734 -0.11514443 1.25106835 -6.597290 71.680936
    Unten rechts KachelX + 1 31568 KachelY + 1 13734 -0.11504856 1.25106835 -6.591797 71.680936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25109848-1.25106835) × R
    3.01300000000726e-05 × 6371000     		dl = 191.958230000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25109848-1.25106835) × R
    3.01300000000726e-05 × 6371000     		dr = 191.958230000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11514443--0.11504856) × cos(1.25109848) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.314279731737088 × 6371000     		do = 191.958216503918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11514443--0.11504856) × cos(1.25106835) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.314308334920046 × 6371000     		du = 191.975686978252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25109848)-sin(1.25106835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314279731737088-0.314308334920046)×R²
    abs(-0.11504856--0.11514443)×2.86031829577205e-05×R²
    9.58700000000118e-05×2.86031829577205e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×2.86031829577205e-05×40589641000000     		ar = 36849.6362778428m²