Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31566 / 38554
↖ ↑ ↗
← S 30.268556°
W  6.602783°		 ← 527.58 m → S 30.268556°
W  6.597290°		 →
↑
527.52 m
↓
↑
527.52 m
↓
S 30.273301°
W  6.602783°		 ← 527.55 m →
278 299 m²		 S 30.273301°
W  6.597290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481666564941406 y=0.588294982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481666564941406 × 216)
    floor (0.481666564941406 × 65536)
    floor (31566.5)     		tx = 31566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588294982910156 × 216)
    floor (0.588294982910156 × 65536)
    floor (38554.5)     		ty = 38554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31566 / 38554 ti = "16/31566/38554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31566/38554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31566 ÷ 216
    31566 ÷ 65536     		x = 0.481658935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38554 ÷ 216
    38554 ÷ 65536     		y = 0.588287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481658935546875 × 2 - 1) × π
    -0.03668212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11524031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.17657470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.55472580240329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11524031} λ = -0.11524031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55472580240329))-π/2
    2×atan(0.574229692013383)-π/2
    2×0.521255180218801-π/2
    1.0425103604376-1.57079632675     		φ = -0.52828597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11524031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.602783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52828597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.268556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31566 KachelY 38554 -0.11524031 -0.52828597 -6.602783 -30.268556
    Oben rechts KachelX + 1 31567 KachelY 38554 -0.11514443 -0.52828597 -6.597290 -30.268556
    Unten links KachelX 31566 KachelY + 1 38555 -0.11524031 -0.52836877 -6.602783 -30.273301
    Unten rechts KachelX + 1 31567 KachelY + 1 38555 -0.11514443 -0.52836877 -6.597290 -30.273301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52828597--0.52836877) × R
    8.28000000000495e-05 × 6371000     		dl = 527.518800000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52828597--0.52836877) × R
    8.28000000000495e-05 × 6371000     		dr = 527.518800000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11524031--0.11514443) × cos(-0.52828597) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.863672301983669 × 6371000     		do = 527.575503901691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11524031--0.11514443) × cos(-0.52836877) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.863630563374926 × 6371000     		du = 527.550007810767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52828597)-sin(-0.52836877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863672301983669-0.863630563374926)×R²
    abs(-0.11514443--0.11524031)×4.173860874368e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.173860874368e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.173860874368e-05×40589641000000     		ar = 278299.272053407m²