Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31566 / 13730
↖ ↑ ↗
← N 71.687841°
W  6.602783°		 ← 191.93 m → N 71.687841°
W  6.597290°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
N 71.686115°
W  6.602783°		 ← 191.94 m →
36 831 m²		 N 71.686115°
W  6.597290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481666564941406 y=0.209510803222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481666564941406 × 216)
    floor (0.481666564941406 × 65536)
    floor (31566.5)     		tx = 31566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209510803222656 × 216)
    floor (0.209510803222656 × 65536)
    floor (13730.5)     		ty = 13730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31566 / 13730 ti = "16/31566/13730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31566/13730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31566 ÷ 216
    31566 ÷ 65536     		x = 0.481658935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13730 ÷ 216
    13730 ÷ 65536     		y = 0.209503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481658935546875 × 2 - 1) × π
    -0.03668212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11524031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209503173828125 × 2 - 1) × π
    0.58099365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82524538993326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11524031} λ = -0.11524031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82524538993326))-π/2
    2×atan(6.20431730933033)-π/2
    2×1.41099259464097-π/2
    2.82198518928194-1.57079632675     		φ = 1.25118886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11524031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.602783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25118886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.687841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31566 KachelY 13730 -0.11524031 1.25118886 -6.602783 71.687841
    Oben rechts KachelX + 1 31567 KachelY 13730 -0.11514443 1.25118886 -6.597290 71.687841
    Unten links KachelX 31566 KachelY + 1 13731 -0.11524031 1.25115874 -6.602783 71.686115
    Unten rechts KachelX + 1 31567 KachelY + 1 13731 -0.11514443 1.25115874 -6.597290 71.686115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25118886-1.25115874) × R
    3.01200000001334e-05 × 6371000     		dl = 191.89452000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25118886-1.25115874) × R
    3.01200000001334e-05 × 6371000     		dr = 191.89452000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11524031--0.11514443) × cos(1.25118886) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.314193929970057 × 6371000     		do = 191.925827129211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11524031--0.11514443) × cos(1.25115874) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.314222524515274 × 6371000     		du = 191.943294149477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25118886)-sin(1.25115874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314193929970057-0.314222524515274)×R²
    abs(-0.11514443--0.11524031)×2.85945452170311e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.85945452170311e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.85945452170311e-05×40589641000000     		ar = 36831.1903879597m²