Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31564 / 38693
↖ ↑ ↗
← S 30.925789°
W  6.613769°		 ← 523.95 m → S 30.925789°
W  6.608276°		 →
↑
523.95 m
↓
↑
523.95 m
↓
S 30.930501°
W  6.613769°		 ← 523.93 m →
274 520 m²		 S 30.930501°
W  6.608276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481636047363281 y=0.590415954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481636047363281 × 216)
    floor (0.481636047363281 × 65536)
    floor (31564.5)     		tx = 31564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590415954589844 × 216)
    floor (0.590415954589844 × 65536)
    floor (38693.5)     		ty = 38693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31564 / 38693 ti = "16/31564/38693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31564/38693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31564 ÷ 216
    31564 ÷ 65536     		x = 0.48162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38693 ÷ 216
    38693 ÷ 65536     		y = 0.590408325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48162841796875 × 2 - 1) × π
    -0.0367431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11543205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590408325195312 × 2 - 1) × π
    -0.180816650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.568052260497665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11543205} λ = -0.11543205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568052260497665))-π/2
    2×atan(0.566628008346728)-π/2
    2×0.515519744999041-π/2
    1.03103948999808-1.57079632675     		φ = -0.53975684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11543205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.613769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53975684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.925789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31564 KachelY 38693 -0.11543205 -0.53975684 -6.613769 -30.925789
    Oben rechts KachelX + 1 31565 KachelY 38693 -0.11533618 -0.53975684 -6.608276 -30.925789
    Unten links KachelX 31564 KachelY + 1 38694 -0.11543205 -0.53983908 -6.613769 -30.930501
    Unten rechts KachelX + 1 31565 KachelY + 1 38694 -0.11533618 -0.53983908 -6.608276 -30.930501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53975684--0.53983908) × R
    8.22400000000112e-05 × 6371000     		dl = 523.951040000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53975684--0.53983908) × R
    8.22400000000112e-05 × 6371000     		dr = 523.951040000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11543205--0.11533618) × cos(-0.53975684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.857833673313544 × 6371000     		do = 523.954316354077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11543205--0.11533618) × cos(-0.53983908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.857791405021955 × 6371000     		du = 523.928499398515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53975684)-sin(-0.53983908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857833673313544-0.857791405021955)×R²
    abs(-0.11533618--0.11543205)×4.22682915889316e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.22682915889316e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.22682915889316e-05×40589641000000     		ar = 274519.64571087m²