Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31563 / 38574
↖ ↑ ↗
← S 30.363396°
W  6.619263°		 ← 527.07 m → S 30.363396°
W  6.613769°		 →
↑
527.01 m
↓
↑
527.01 m
↓
S 30.368136°
W  6.619263°		 ← 527.04 m →
277 761 m²		 S 30.368136°
W  6.613769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481620788574219 y=0.588600158691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481620788574219 × 216)
    floor (0.481620788574219 × 65536)
    floor (31563.5)     		tx = 31563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588600158691406 × 216)
    floor (0.588600158691406 × 65536)
    floor (38574.5)     		ty = 38574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31563 / 38574 ti = "16/31563/38574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31563/38574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31563 ÷ 216
    31563 ÷ 65536     		x = 0.481613159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38574 ÷ 216
    38574 ÷ 65536     		y = 0.588592529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481613159179688 × 2 - 1) × π
    -0.036773681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11552793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588592529296875 × 2 - 1) × π
    -0.17718505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.556643278388092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11552793} λ = -0.11552793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556643278388092))-π/2
    2×atan(0.573129675334007)-π/2
    2×0.520427545169937-π/2
    1.04085509033987-1.57079632675     		φ = -0.52994124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11552793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.619263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52994124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.363396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31563 KachelY 38574 -0.11552793 -0.52994124 -6.619263 -30.363396
    Oben rechts KachelX + 1 31564 KachelY 38574 -0.11543205 -0.52994124 -6.613769 -30.363396
    Unten links KachelX 31563 KachelY + 1 38575 -0.11552793 -0.53002396 -6.619263 -30.368136
    Unten rechts KachelX + 1 31564 KachelY + 1 38575 -0.11543205 -0.53002396 -6.613769 -30.368136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52994124--0.53002396) × R
    8.27199999999806e-05 × 6371000     		dl = 527.009119999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52994124--0.53002396) × R
    8.27199999999806e-05 × 6371000     		dr = 527.009119999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11552793--0.11543205) × cos(-0.52994124) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.86283677416435 × 6371000     		do = 527.065120496755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11552793--0.11543205) × cos(-0.53002396) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.862794957688246 × 6371000     		du = 527.039576840438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52994124)-sin(-0.53002396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86283677416435-0.862794957688246)×R²
    abs(-0.11543205--0.11552793)×4.18164761037954e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.18164761037954e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.18164761037954e-05×40589641000000     		ar = 277761.394624435m²