Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31562 / 38696
↖ ↑ ↗
← S 30.939924°
W  6.624756°		 ← 523.88 m → S 30.939924°
W  6.619263°		 →
↑
523.89 m
↓
↑
523.89 m
↓
S 30.944636°
W  6.624756°		 ← 523.85 m →
274 446 m²		 S 30.944636°
W  6.619263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481605529785156 y=0.590461730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481605529785156 × 216)
    floor (0.481605529785156 × 65536)
    floor (31562.5)     		tx = 31562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590461730957031 × 216)
    floor (0.590461730957031 × 65536)
    floor (38696.5)     		ty = 38696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31562 / 38696 ti = "16/31562/38696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31562/38696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31562 ÷ 216
    31562 ÷ 65536     		x = 0.481597900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38696 ÷ 216
    38696 ÷ 65536     		y = 0.5904541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481597900390625 × 2 - 1) × π
    -0.03680419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11562380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5904541015625 × 2 - 1) × π
    -0.180908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.568339881895386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11562380} λ = -0.11562380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568339881895386))-π/2
    2×atan(0.566465057442187)-π/2
    2×0.515396388457283-π/2
    1.03079277691457-1.57079632675     		φ = -0.54000355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11562380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.624756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54000355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.939924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31562 KachelY 38696 -0.11562380 -0.54000355 -6.624756 -30.939924
    Oben rechts KachelX + 1 31563 KachelY 38696 -0.11552793 -0.54000355 -6.619263 -30.939924
    Unten links KachelX 31562 KachelY + 1 38697 -0.11562380 -0.54008578 -6.624756 -30.944636
    Unten rechts KachelX + 1 31563 KachelY + 1 38697 -0.11552793 -0.54008578 -6.619263 -30.944636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54000355--0.54008578) × R
    8.22299999999609e-05 × 6371000     		dl = 523.887329999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54000355--0.54008578) × R
    8.22299999999609e-05 × 6371000     		dr = 523.887329999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11562380--0.11552793) × cos(-0.54000355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.857706856175649 × 6371000     		do = 523.876857997224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11562380--0.11552793) × cos(-0.54008578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.857664575622915 × 6371000     		du = 523.851033552705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54000355)-sin(-0.54008578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857706856175649-0.857664575622915)×R²
    abs(-0.11552793--0.11562380)×4.2280552734475e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2280552734475e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2280552734475e-05×40589641000000     		ar = 274445.683989741m²