Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31562 / 38560
↖ ↑ ↗
← S 30.297018°
W  6.624756°		 ← 527.37 m → S 30.297018°
W  6.619263°		 →
↑
527.33 m
↓
↑
527.33 m
↓
S 30.301761°
W  6.624756°		 ← 527.34 m →
278 089 m²		 S 30.301761°
W  6.619263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481605529785156 y=0.588386535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481605529785156 × 216)
    floor (0.481605529785156 × 65536)
    floor (31562.5)     		tx = 31562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588386535644531 × 216)
    floor (0.588386535644531 × 65536)
    floor (38560.5)     		ty = 38560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31562 / 38560 ti = "16/31562/38560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31562/38560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31562 ÷ 216
    31562 ÷ 65536     		x = 0.481597900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38560 ÷ 216
    38560 ÷ 65536     		y = 0.58837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481597900390625 × 2 - 1) × π
    -0.03680419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11562380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58837890625 × 2 - 1) × π
    -0.1767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.55530104519873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11562380} λ = -0.11562380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55530104519873))-π/2
    2×atan(0.573899465509439)-π/2
    2×0.521006805604077-π/2
    1.04201361120815-1.57079632675     		φ = -0.52878272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11562380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.624756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52878272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.297018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31562 KachelY 38560 -0.11562380 -0.52878272 -6.624756 -30.297018
    Oben rechts KachelX + 1 31563 KachelY 38560 -0.11552793 -0.52878272 -6.619263 -30.297018
    Unten links KachelX 31562 KachelY + 1 38561 -0.11562380 -0.52886549 -6.624756 -30.301761
    Unten rechts KachelX + 1 31563 KachelY + 1 38561 -0.11552793 -0.52886549 -6.619263 -30.301761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52878272--0.52886549) × R
    8.27700000000098e-05 × 6371000     		dl = 527.327670000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52878272--0.52886549) × R
    8.27700000000098e-05 × 6371000     		dr = 527.327670000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11562380--0.11552793) × cos(-0.52878272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.863421806747373 × 6371000     		do = 527.367479912587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11562380--0.11552793) × cos(-0.52886549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.863380047757645 × 6371000     		du = 527.341974032374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52878272)-sin(-0.52886549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863421806747373-0.863380047757645)×R²
    abs(-0.11552793--0.11562380)×4.17589897282467e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.17589897282467e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.17589897282467e-05×40589641000000     		ar = 278088.739596679m²