Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31562 / 14170
↖ ↑ ↗
← N 70.913049°
W  6.624756°		 ← 199.73 m → N 70.913049°
W  6.619263°		 →
↑
199.79 m
↓
↑
199.79 m
↓
N 70.911252°
W  6.624756°		 ← 199.75 m →
39 907 m²		 N 70.911252°
W  6.619263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481605529785156 y=0.216224670410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481605529785156 × 216)
    floor (0.481605529785156 × 65536)
    floor (31562.5)     		tx = 31562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216224670410156 × 216)
    floor (0.216224670410156 × 65536)
    floor (14170.5)     		ty = 14170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31562 / 14170 ti = "16/31562/14170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31562/14170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31562 ÷ 216
    31562 ÷ 65536     		x = 0.481597900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14170 ÷ 216
    14170 ÷ 65536     		y = 0.216217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481597900390625 × 2 - 1) × π
    -0.03680419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11562380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216217041015625 × 2 - 1) × π
    0.56756591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78306091826761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11562380} λ = -0.11562380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78306091826761))-π/2
    2×atan(5.94803503185854)-π/2
    2×1.40423125612695-π/2
    2.80846251225389-1.57079632675     		φ = 1.23766619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11562380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.624756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23766619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.913049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31562 KachelY 14170 -0.11562380 1.23766619 -6.624756 70.913049
    Oben rechts KachelX + 1 31563 KachelY 14170 -0.11552793 1.23766619 -6.619263 70.913049
    Unten links KachelX 31562 KachelY + 1 14171 -0.11562380 1.23763483 -6.624756 70.911252
    Unten rechts KachelX + 1 31563 KachelY + 1 14171 -0.11552793 1.23763483 -6.619263 70.911252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23766619-1.23763483) × R
    3.13600000001468e-05 × 6371000     		dl = 199.794560000935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23766619-1.23763483) × R
    3.13600000001468e-05 × 6371000     		dr = 199.794560000935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11562380--0.11552793) × cos(1.23766619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327002678062267 × 6371000     		do = 199.729236517676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11562380--0.11552793) × cos(1.23763483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327032313835656 × 6371000     		du = 199.747337685616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23766619)-sin(1.23763483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327002678062267-0.327032313835656)×R²
    abs(-0.11552793--0.11562380)×2.96357733888808e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96357733888808e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96357733888808e-05×40589641000000     		ar = 39906.6231904077m²