Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31561 / 38695
↖ ↑ ↗
← S 30.935213°
W  6.630249°		 ← 523.96 m → S 30.935213°
W  6.624756°		 →
↑
523.89 m
↓
↑
523.89 m
↓
S 30.939924°
W  6.630249°		 ← 523.93 m →
274 488 m²		 S 30.939924°
W  6.624756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481590270996094 y=0.590446472167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481590270996094 × 216)
    floor (0.481590270996094 × 65536)
    floor (31561.5)     		tx = 31561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590446472167969 × 216)
    floor (0.590446472167969 × 65536)
    floor (38695.5)     		ty = 38695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31561 / 38695 ti = "16/31561/38695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31561/38695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31561 ÷ 216
    31561 ÷ 65536     		x = 0.481582641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38695 ÷ 216
    38695 ÷ 65536     		y = 0.590438842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481582641601562 × 2 - 1) × π
    -0.036834716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11571968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590438842773438 × 2 - 1) × π
    -0.180877685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.568244008096146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11571968} λ = -0.11571968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568244008096146))-π/2
    2×atan(0.566519369202876)-π/2
    2×0.515437505278074-π/2
    1.03087501055615-1.57079632675     		φ = -0.53992132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11571968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.630249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53992132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.935213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31561 KachelY 38695 -0.11571968 -0.53992132 -6.630249 -30.935213
    Oben rechts KachelX + 1 31562 KachelY 38695 -0.11562380 -0.53992132 -6.624756 -30.935213
    Unten links KachelX 31561 KachelY + 1 38696 -0.11571968 -0.54000355 -6.630249 -30.939924
    Unten rechts KachelX + 1 31562 KachelY + 1 38696 -0.11562380 -0.54000355 -6.624756 -30.939924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53992132--0.54000355) × R
    8.22299999999609e-05 × 6371000     		dl = 523.887329999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53992132--0.54000355) × R
    8.22299999999609e-05 × 6371000     		dr = 523.887329999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11571968--0.11562380) × cos(-0.53992132) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.857749130928765 × 6371000     		do = 523.957326096585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11571968--0.11562380) × cos(-0.54000355) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.857706856175649 × 6371000     		du = 523.931502501078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53992132)-sin(-0.54000355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857749130928765-0.857706856175649)×R²
    abs(-0.11562380--0.11571968)×4.22747531155787e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.22747531155787e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.22747531155787e-05×40589641000000     		ar = 274487.840429985m²