Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31561 / 19418
↖ ↑ ↗
← N 77.488659°
W 93.315124°		 ← 66.15 m → N 77.488659°
W 93.312378°		 →
↑
66.19 m
↓
↑
66.19 m
↓
N 77.488064°
W 93.315124°		 ← 66.15 m →
4 379 m²		 N 77.488064°
W 93.312378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.240795135498047 y=0.148151397705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.240795135498047 × 217)
    floor (0.240795135498047 × 131072)
    floor (31561.5)     		tx = 31561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148151397705078 × 217)
    floor (0.148151397705078 × 131072)
    floor (19418.5)     		ty = 19418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31561 / 19418 ti = "17/31561/19418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31561/19418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31561 ÷ 217
    31561 ÷ 131072     		x = 0.240791320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19418 ÷ 217
    19418 ÷ 131072     		y = 0.148147583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.240791320800781 × 2 - 1) × π
    -0.518417358398438 × 3.1415926535     		Λ = -1.62865616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148147583007812 × 2 - 1) × π
    0.703704833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21075393667775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62865616} λ = -1.62865616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21075393667775))-π/2
    2×atan(9.1225916574043)-π/2
    2×1.46161427606216-π/2
    2.92322855212432-1.57079632675     		φ = 1.35243223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62865616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.315124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35243223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.488659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31561 KachelY 19418 -1.62865616 1.35243223 -93.315124 77.488659
    Oben rechts KachelX + 1 31562 KachelY 19418 -1.62860823 1.35243223 -93.312378 77.488659
    Unten links KachelX 31561 KachelY + 1 19419 -1.62865616 1.35242184 -93.315124 77.488064
    Unten rechts KachelX + 1 31562 KachelY + 1 19419 -1.62860823 1.35242184 -93.312378 77.488064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35243223-1.35242184) × R
    1.03899999999157e-05 × 6371000     		dl = 66.1946899994632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35243223-1.35242184) × R
    1.03899999999157e-05 × 6371000     		dr = 66.1946899994632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62865616--1.62860823) × cos(1.35243223) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216632858016998 × 6371000     		do = 66.1514492888127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62865616--1.62860823) × cos(1.35242184) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21664300127549 × 6371000     		du = 66.1545466548167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35243223)-sin(1.35242184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216632858016998-0.21664300127549)×R²
    abs(-1.62860823--1.62865616)×1.01432584923566e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01432584923566e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01432584923566e-05×40589641000000     		ar = 4378.97719331889m²