Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31560 / 19417
↖ ↑ ↗
← N 77.489254°
W 93.317871°		 ← 66.16 m → N 77.489254°
W 93.315124°		 →
↑
66.13 m
↓
↑
66.13 m
↓
N 77.488659°
W 93.317871°		 ← 66.17 m →
4 375 m²		 N 77.488659°
W 93.315124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.240787506103516 y=0.148143768310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.240787506103516 × 217)
    floor (0.240787506103516 × 131072)
    floor (31560.5)     		tx = 31560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148143768310547 × 217)
    floor (0.148143768310547 × 131072)
    floor (19417.5)     		ty = 19417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31560 / 19417 ti = "17/31560/19417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31560/19417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31560 ÷ 217
    31560 ÷ 131072     		x = 0.24078369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19417 ÷ 217
    19417 ÷ 131072     		y = 0.148139953613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.5184326171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.62870410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148139953613281 × 2 - 1) × π
    0.703720092773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.21080187357737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62870410} λ = -1.62870410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21080187357737))-π/2
    2×atan(9.12302897664664)-π/2
    2×1.46161946829456-π/2
    2.92323893658912-1.57079632675     		φ = 1.35244261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62870410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.317871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35244261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.489254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31560 KachelY 19417 -1.62870410 1.35244261 -93.317871 77.489254
    Oben rechts KachelX + 1 31561 KachelY 19417 -1.62865616 1.35244261 -93.315124 77.489254
    Unten links KachelX 31560 KachelY + 1 19418 -1.62870410 1.35243223 -93.317871 77.488659
    Unten rechts KachelX + 1 31561 KachelY + 1 19418 -1.62865616 1.35243223 -93.315124 77.488659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35244261-1.35243223) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dl = 66.1309799998504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35244261-1.35243223) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dr = 66.1309799998504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62870410--1.62865616) × cos(1.35244261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216622724497673 × 6371000     		do = 66.1621559304746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62870410--1.62865616) × cos(1.35243223) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216632858016998 × 6371000     		du = 66.165250968113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35244261)-sin(1.35243223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216622724497673-0.216632858016998)×R²
    abs(-1.62865616--1.62870410)×1.01335193244401e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01335193244401e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01335193244401e-05×40589641000000     		ar = 4375.4705495137m²