Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3156 / 3067
↖ ↑ ↗
← S 66.337505°
E 97.382812°		 ← 3 922.37 m → S 66.337505°
E 97.470703°		 →
↑
3 919.63 m
↓
↑
3 919.63 m
↓
S 66.372755°
E 97.382812°		 ← 3 916.86 m →
15 363 453 m²		 S 66.372755°
E 97.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7706298828125 y=0.7489013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7706298828125 × 212)
    floor (0.7706298828125 × 4096)
    floor (3156.5)     		tx = 3156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7489013671875 × 212)
    floor (0.7489013671875 × 4096)
    floor (3067.5)     		ty = 3067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3156 / 3067 ti = "12/3156/3067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3156/3067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3156 ÷ 212
    3156 ÷ 4096     		x = 0.7705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3067 ÷ 212
    3067 ÷ 4096     		y = 0.748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7705078125 × 2 - 1) × π
    0.541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69965071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.49755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56312642281079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69965071} λ = 1.69965071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56312642281079))-π/2
    2×atan(0.209480122914533)-π/2
    2×0.206494223328084-π/2
    0.412988446656169-1.57079632675     		φ = -1.15780788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69965071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.382812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15780788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.337505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3156 KachelY 3067 1.69965071 -1.15780788 97.382812 -66.337505
    Oben rechts KachelX + 1 3157 KachelY 3067 1.70118469 -1.15780788 97.470703 -66.337505
    Unten links KachelX 3156 KachelY + 1 3068 1.69965071 -1.15842311 97.382812 -66.372755
    Unten rechts KachelX + 1 3157 KachelY + 1 3068 1.70118469 -1.15842311 97.470703 -66.372755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15780788--1.15842311) × R
    0.000615229999999967 × 6371000     		dl = 3919.63032999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15780788--1.15842311) × R
    0.000615229999999967 × 6371000     		dr = 3919.63032999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69965071-1.70118469) × cos(-1.15780788) × R
    0.00153398000000005 × 0.40134831073675 × 6371000     		do = 3922.37165473604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69965071-1.70118469) × cos(-1.15842311) × R
    0.00153398000000005 × 0.400784729966169 × 6371000     		du = 3916.86378742841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15780788)-sin(-1.15842311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40134831073675-0.400784729966169)×R²
    abs(1.70118469-1.69965071)×0.000563580770580607×R²
    0.00153398000000005×0.000563580770580607×6371000²
    0.00153398000000005×0.000563580770580607×40589641000000     		ar = 15363452.9861614m²