Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31559 / 15103
↖ ↑ ↗
← N 69.164512°
W  6.641235°		 ← 217.25 m → N 69.164512°
W  6.635742°		 →
↑
217.31 m
↓
↑
217.31 m
↓
N 69.162558°
W  6.641235°		 ← 217.27 m →
47 213 m²		 N 69.162558°
W  6.635742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481559753417969 y=0.230461120605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481559753417969 × 216)
    floor (0.481559753417969 × 65536)
    floor (31559.5)     		tx = 31559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230461120605469 × 216)
    floor (0.230461120605469 × 65536)
    floor (15103.5)     		ty = 15103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31559 / 15103 ti = "16/31559/15103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31559/15103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31559 ÷ 216
    31559 ÷ 65536     		x = 0.481552124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15103 ÷ 216
    15103 ÷ 65536     		y = 0.230453491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481552124023438 × 2 - 1) × π
    -0.036895751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11591142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230453491210938 × 2 - 1) × π
    0.539093017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69361066357658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11591142} λ = -0.11591142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69361066357658))-π/2
    2×atan(5.43908399586398)-π/2
    2×1.38897239193143-π/2
    2.77794478386286-1.57079632675     		φ = 1.20714846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11591142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.641235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20714846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.164512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31559 KachelY 15103 -0.11591142 1.20714846 -6.641235 69.164512
    Oben rechts KachelX + 1 31560 KachelY 15103 -0.11581555 1.20714846 -6.635742 69.164512
    Unten links KachelX 31559 KachelY + 1 15104 -0.11591142 1.20711435 -6.641235 69.162558
    Unten rechts KachelX + 1 31560 KachelY + 1 15104 -0.11581555 1.20711435 -6.635742 69.162558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20714846-1.20711435) × R
    3.41100000000871e-05 × 6371000     		dl = 217.314810000555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20714846-1.20711435) × R
    3.41100000000871e-05 × 6371000     		dr = 217.314810000555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11591142--0.11581555) × cos(1.20714846) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355685908807873 × 6371000     		do = 217.248603061179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11591142--0.11581555) × cos(1.20711435) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355717787996262 × 6371000     		du = 217.268074479565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20714846)-sin(1.20711435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355685908807873-0.355717787996262)×R²
    abs(-0.11581555--0.11591142)×3.1879188388928e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1879188388928e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1879188388928e-05×40589641000000     		ar = 47213.4546155153m²