Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31555 / 38659
↖ ↑ ↗
← S 30.765439°
W  6.663208°		 ← 524.89 m → S 30.765439°
W  6.657715°		 →
↑
524.84 m
↓
↑
524.84 m
↓
S 30.770159°
W  6.663208°		 ← 524.86 m →
275 476 m²		 S 30.770159°
W  6.657715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481498718261719 y=0.589897155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481498718261719 × 216)
    floor (0.481498718261719 × 65536)
    floor (31555.5)     		tx = 31555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589897155761719 × 216)
    floor (0.589897155761719 × 65536)
    floor (38659.5)     		ty = 38659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31555 / 38659 ti = "16/31555/38659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31555/38659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31555 ÷ 216
    31555 ÷ 65536     		x = 0.481491088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38659 ÷ 216
    38659 ÷ 65536     		y = 0.589889526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481491088867188 × 2 - 1) × π
    -0.037017822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11629492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589889526367188 × 2 - 1) × π
    -0.179779052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.564792551323502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11629492} λ = -0.11629492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564792551323502))-π/2
    2×atan(0.568478064548282)-π/2
    2×0.516919059100716-π/2
    1.03383811820143-1.57079632675     		φ = -0.53695821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11629492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.663208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53695821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.765439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31555 KachelY 38659 -0.11629492 -0.53695821 -6.663208 -30.765439
    Oben rechts KachelX + 1 31556 KachelY 38659 -0.11619904 -0.53695821 -6.657715 -30.765439
    Unten links KachelX 31555 KachelY + 1 38660 -0.11629492 -0.53704059 -6.663208 -30.770159
    Unten rechts KachelX + 1 31556 KachelY + 1 38660 -0.11619904 -0.53704059 -6.657715 -30.770159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53695821--0.53704059) × R
    8.23800000000485e-05 × 6371000     		dl = 524.842980000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53695821--0.53704059) × R
    8.23800000000485e-05 × 6371000     		dr = 524.842980000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11629492--0.11619904) × cos(-0.53695821) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.859268604704328 × 6371000     		do = 524.885498901133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11629492--0.11619904) × cos(-0.53704059) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.859226462388219 × 6371000     		du = 524.859756204968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53695821)-sin(-0.53704059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859268604704328-0.859226462388219)×R²
    abs(-0.11619904--0.11629492)×4.21423161088841e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.21423161088841e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.21423161088841e-05×40589641000000     		ar = 275475.714121386m²