Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31551 / 38605
↖ ↑ ↗
← S 30.510216°
W  6.685180°		 ← 526.22 m → S 30.510216°
W  6.679688°		 →
↑
526.24 m
↓
↑
526.24 m
↓
S 30.514949°
W  6.685180°		 ← 526.19 m →
276 912 m²		 S 30.514949°
W  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481437683105469 y=0.589073181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481437683105469 × 216)
    floor (0.481437683105469 × 65536)
    floor (31551.5)     		tx = 31551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589073181152344 × 216)
    floor (0.589073181152344 × 65536)
    floor (38605.5)     		ty = 38605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31551 / 38605 ti = "16/31551/38605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31551/38605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31551 ÷ 216
    31551 ÷ 65536     		x = 0.481430053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38605 ÷ 216
    38605 ÷ 65536     		y = 0.589065551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481430053710938 × 2 - 1) × π
    -0.037139892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11667841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589065551757812 × 2 - 1) × π
    -0.178131103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.559615366164536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11667841} λ = -0.11667841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559615366164536))-π/2
    2×atan(0.571428812440558)-π/2
    2×0.519146295932463-π/2
    1.03829259186493-1.57079632675     		φ = -0.53250373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11667841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.685180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53250373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.510216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31551 KachelY 38605 -0.11667841 -0.53250373 -6.685180 -30.510216
    Oben rechts KachelX + 1 31552 KachelY 38605 -0.11658254 -0.53250373 -6.679688 -30.510216
    Unten links KachelX 31551 KachelY + 1 38606 -0.11667841 -0.53258633 -6.685180 -30.514949
    Unten rechts KachelX + 1 31552 KachelY + 1 38606 -0.11658254 -0.53258633 -6.679688 -30.514949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53250373--0.53258633) × R
    8.26000000000437e-05 × 6371000     		dl = 526.244600000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53250373--0.53258633) × R
    8.26000000000437e-05 × 6371000     		dr = 526.244600000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11667841--0.11658254) × cos(-0.53250373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.86153864852242 × 6371000     		do = 526.217269899811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11667841--0.11658254) × cos(-0.53258633) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.861496710225026 × 6371000     		du = 526.191654500668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53250373)-sin(-0.53258633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86153864852242-0.861496710225026)×R²
    abs(-0.11658254--0.11667841)×4.19382973939619e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19382973939619e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19382973939619e-05×40589641000000     		ar = 276912.256886444m²