Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31551 / 38547
↖ ↑ ↗
← S 30.235340°
W  6.685180°		 ← 527.70 m → S 30.235340°
W  6.679688°		 →
↑
527.71 m
↓
↑
527.71 m
↓
S 30.240086°
W  6.685180°		 ← 527.67 m →
278 465 m²		 S 30.240086°
W  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481437683105469 y=0.588188171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481437683105469 × 216)
    floor (0.481437683105469 × 65536)
    floor (31551.5)     		tx = 31551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588188171386719 × 216)
    floor (0.588188171386719 × 65536)
    floor (38547.5)     		ty = 38547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31551 / 38547 ti = "16/31551/38547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31551/38547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31551 ÷ 216
    31551 ÷ 65536     		x = 0.481430053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38547 ÷ 216
    38547 ÷ 65536     		y = 0.588180541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481430053710938 × 2 - 1) × π
    -0.037139892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11667841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588180541992188 × 2 - 1) × π
    -0.176361083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.554054685808609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11667841} λ = -0.11667841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.554054685808609))-π/2
    2×atan(0.57461519643359)-π/2
    2×0.521545041634523-π/2
    1.04309008326905-1.57079632675     		φ = -0.52770624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11667841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.685180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52770624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.235340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31551 KachelY 38547 -0.11667841 -0.52770624 -6.685180 -30.235340
    Oben rechts KachelX + 1 31552 KachelY 38547 -0.11658254 -0.52770624 -6.679688 -30.235340
    Unten links KachelX 31551 KachelY + 1 38548 -0.11667841 -0.52778907 -6.685180 -30.240086
    Unten rechts KachelX + 1 31552 KachelY + 1 38548 -0.11658254 -0.52778907 -6.679688 -30.240086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52770624--0.52778907) × R
    8.28299999999782e-05 × 6371000     		dl = 527.709929999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52770624--0.52778907) × R
    8.28299999999782e-05 × 6371000     		dr = 527.709929999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11667841--0.11658254) × cos(-0.52770624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.86396437189717 × 6371000     		do = 527.698872070512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11667841--0.11658254) × cos(-0.52778907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.863922659643392 × 6371000     		du = 527.673394736045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52770624)-sin(-0.52778907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86396437189717-0.863922659643392)×R²
    abs(-0.11658254--0.11667841)×4.17122537781367e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.17122537781367e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.17122537781367e-05×40589641000000     		ar = 278465.212679472m²