Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31550 / 38662
↖ ↑ ↗
← S 30.779598°
W  6.690674°		 ← 524.81 m → S 30.779598°
W  6.685180°		 →
↑
524.78 m
↓
↑
524.78 m
↓
S 30.784318°
W  6.690674°		 ← 524.78 m →
275 402 m²		 S 30.784318°
W  6.685180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481422424316406 y=0.589942932128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481422424316406 × 216)
    floor (0.481422424316406 × 65536)
    floor (31550.5)     		tx = 31550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589942932128906 × 216)
    floor (0.589942932128906 × 65536)
    floor (38662.5)     		ty = 38662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31550 / 38662 ti = "16/31550/38662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31550/38662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31550 ÷ 216
    31550 ÷ 65536     		x = 0.481414794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38662 ÷ 216
    38662 ÷ 65536     		y = 0.589935302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481414794921875 × 2 - 1) × π
    -0.03717041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11677429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589935302734375 × 2 - 1) × π
    -0.17987060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.565080172721222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11677429} λ = -0.11677429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.565080172721222))-π/2
    2×atan(0.568314581604506)-π/2
    2×0.516795496173167-π/2
    1.03359099234633-1.57079632675     		φ = -0.53720533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11677429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.690674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53720533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.779598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31550 KachelY 38662 -0.11677429 -0.53720533 -6.690674 -30.779598
    Oben rechts KachelX + 1 31551 KachelY 38662 -0.11667841 -0.53720533 -6.685180 -30.779598
    Unten links KachelX 31550 KachelY + 1 38663 -0.11677429 -0.53728770 -6.690674 -30.784318
    Unten rechts KachelX + 1 31551 KachelY + 1 38663 -0.11667841 -0.53728770 -6.685180 -30.784318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53720533--0.53728770) × R
    8.23699999999983e-05 × 6371000     		dl = 524.779269999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53720533--0.53728770) × R
    8.23699999999983e-05 × 6371000     		dr = 524.779269999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11677429--0.11667841) × cos(-0.53720533) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.859142170497698 × 6371000     		do = 524.808266378967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11677429--0.11667841) × cos(-0.53728770) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.859100015808611 × 6371000     		du = 524.782516124749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53720533)-sin(-0.53728770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859142170497698-0.859100015808611)×R²
    abs(-0.11667841--0.11677429)×4.21546890871927e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.21546890871927e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.21546890871927e-05×40589641000000     		ar = 275401.742476334m²