Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31550 / 38550
↖ ↑ ↗
← S 30.249577°
W  6.690674°		 ← 527.68 m → S 30.249577°
W  6.685180°		 →
↑
527.65 m
↓
↑
527.65 m
↓
S 30.254322°
W  6.690674°		 ← 527.65 m →
278 420 m²		 S 30.254322°
W  6.685180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481422424316406 y=0.588233947753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481422424316406 × 216)
    floor (0.481422424316406 × 65536)
    floor (31550.5)     		tx = 31550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588233947753906 × 216)
    floor (0.588233947753906 × 65536)
    floor (38550.5)     		ty = 38550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31550 / 38550 ti = "16/31550/38550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31550/38550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31550 ÷ 216
    31550 ÷ 65536     		x = 0.481414794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38550 ÷ 216
    38550 ÷ 65536     		y = 0.588226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481414794921875 × 2 - 1) × π
    -0.03717041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11677429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.17645263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.554342307206329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11677429} λ = -0.11677429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.554342307206329))-π/2
    2×atan(0.57444994857319)-π/2
    2×0.521420803313041-π/2
    1.04284160662608-1.57079632675     		φ = -0.52795472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11677429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.690674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52795472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.249577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31550 KachelY 38550 -0.11677429 -0.52795472 -6.690674 -30.249577
    Oben rechts KachelX + 1 31551 KachelY 38550 -0.11667841 -0.52795472 -6.685180 -30.249577
    Unten links KachelX 31550 KachelY + 1 38551 -0.11677429 -0.52803754 -6.690674 -30.254322
    Unten rechts KachelX + 1 31551 KachelY + 1 38551 -0.11667841 -0.52803754 -6.685180 -30.254322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52795472--0.52803754) × R
    8.2820000000039e-05 × 6371000     		dl = 527.646220000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52795472--0.52803754) × R
    8.2820000000039e-05 × 6371000     		dr = 527.646220000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11677429--0.11667841) × cos(-0.52795472) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.863839222392173 × 6371000     		do = 527.677467480344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11677429--0.11667841) × cos(-0.52803754) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.863797497396736 × 6371000     		du = 527.651979705128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52795472)-sin(-0.52803754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863839222392173-0.863797497396736)×R²
    abs(-0.11667841--0.11677429)×4.17249954371979e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.17249954371979e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.17249954371979e-05×40589641000000     		ar = 278420.296990267m²