Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31549 / 38667
↖ ↑ ↗
← S 30.803193°
W  6.696167°		 ← 524.62 m → S 30.803193°
W  6.690674°		 →
↑
524.65 m
↓
↑
524.65 m
↓
S 30.807911°
W  6.696167°		 ← 524.60 m →
275 239 m²		 S 30.807911°
W  6.690674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481407165527344 y=0.590019226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481407165527344 × 216)
    floor (0.481407165527344 × 65536)
    floor (31549.5)     		tx = 31549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590019226074219 × 216)
    floor (0.590019226074219 × 65536)
    floor (38667.5)     		ty = 38667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31549 / 38667 ti = "16/31549/38667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31549/38667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31549 ÷ 216
    31549 ÷ 65536     		x = 0.481399536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38667 ÷ 216
    38667 ÷ 65536     		y = 0.590011596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481399536132812 × 2 - 1) × π
    -0.037200927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11687016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590011596679688 × 2 - 1) × π
    -0.180023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.565559541717423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11687016} λ = -0.11687016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.565559541717423))-π/2
    2×atan(0.568042214501385)-π/2
    2×0.516589598375114-π/2
    1.03317919675023-1.57079632675     		φ = -0.53761713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11687016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.696167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53761713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.803193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31549 KachelY 38667 -0.11687016 -0.53761713 -6.696167 -30.803193
    Oben rechts KachelX + 1 31550 KachelY 38667 -0.11677429 -0.53761713 -6.690674 -30.803193
    Unten links KachelX 31549 KachelY + 1 38668 -0.11687016 -0.53769948 -6.696167 -30.807911
    Unten rechts KachelX + 1 31550 KachelY + 1 38668 -0.11677429 -0.53769948 -6.690674 -30.807911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53761713--0.53769948) × R
    8.23500000000088e-05 × 6371000     		dl = 524.651850000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53761713--0.53769948) × R
    8.23500000000088e-05 × 6371000     		dr = 524.651850000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11687016--0.11677429) × cos(-0.53761713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.858931364371297 × 6371000     		do = 524.624772627391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11687016--0.11677429) × cos(-0.53769948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.858889190787656 × 6371000     		du = 524.599013518285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53761713)-sin(-0.53769948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858931364371297-0.858889190787656)×R²
    abs(-0.11677429--0.11687016)×4.21735836411141e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.21735836411141e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.21735836411141e-05×40589641000000     		ar = 275238.600388324m²