Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31547 / 38559
↖ ↑ ↗
← S 30.292275°
W  6.707153°		 ← 527.39 m → S 30.292275°
W  6.701660°		 →
↑
527.46 m
↓
↑
527.46 m
↓
S 30.297018°
W  6.707153°		 ← 527.37 m →
278 169 m²		 S 30.297018°
W  6.701660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481376647949219 y=0.588371276855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481376647949219 × 216)
    floor (0.481376647949219 × 65536)
    floor (31547.5)     		tx = 31547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588371276855469 × 216)
    floor (0.588371276855469 × 65536)
    floor (38559.5)     		ty = 38559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31547 / 38559 ti = "16/31547/38559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31547/38559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31547 ÷ 216
    31547 ÷ 65536     		x = 0.481369018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38559 ÷ 216
    38559 ÷ 65536     		y = 0.588363647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481369018554688 × 2 - 1) × π
    -0.037261962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11706191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588363647460938 × 2 - 1) × π
    -0.176727294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.55520517139949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11706191} λ = -0.11706191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55520517139949))-π/2
    2×atan(0.573954490069244)-π/2
    2×0.521048196369575-π/2
    1.04209639273915-1.57079632675     		φ = -0.52869993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11706191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.707153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52869993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.292275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31547 KachelY 38559 -0.11706191 -0.52869993 -6.707153 -30.292275
    Oben rechts KachelX + 1 31548 KachelY 38559 -0.11696604 -0.52869993 -6.701660 -30.292275
    Unten links KachelX 31547 KachelY + 1 38560 -0.11706191 -0.52878272 -6.707153 -30.297018
    Unten rechts KachelX + 1 31548 KachelY + 1 38560 -0.11696604 -0.52878272 -6.701660 -30.297018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52869993--0.52878272) × R
    8.27899999999993e-05 × 6371000     		dl = 527.455089999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52869993--0.52878272) × R
    8.27899999999993e-05 × 6371000     		dr = 527.455089999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11706191--0.11696604) × cos(-0.52869993) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.863463569910132 × 6371000     		do = 527.392988341714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11706191--0.11696604) × cos(-0.52878272) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.863421806747373 × 6371000     		du = 527.367479912664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52869993)-sin(-0.52878272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863463569910132-0.863421806747373)×R²
    abs(-0.11696604--0.11706191)×4.17631627595005e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.17631627595005e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.17631627595005e-05×40589641000000     		ar = 278169.389014577m²