Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31546 / 38668
↖ ↑ ↗
← S 30.807911°
W  6.712646°		 ← 524.60 m → S 30.807911°
W  6.707153°		 →
↑
524.59 m
↓
↑
524.59 m
↓
S 30.812629°
W  6.712646°		 ← 524.57 m →
275 192 m²		 S 30.812629°
W  6.707153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481361389160156 y=0.590034484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481361389160156 × 216)
    floor (0.481361389160156 × 65536)
    floor (31546.5)     		tx = 31546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590034484863281 × 216)
    floor (0.590034484863281 × 65536)
    floor (38668.5)     		ty = 38668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31546 / 38668 ti = "16/31546/38668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31546/38668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31546 ÷ 216
    31546 ÷ 65536     		x = 0.481353759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38668 ÷ 216
    38668 ÷ 65536     		y = 0.59002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481353759765625 × 2 - 1) × π
    -0.03729248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11715778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59002685546875 × 2 - 1) × π
    -0.1800537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.565655415516663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11715778} λ = -0.11715778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.565655415516663))-π/2
    2×atan(0.567987756746729)-π/2
    2×0.516548424879304-π/2
    1.03309684975861-1.57079632675     		φ = -0.53769948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11715778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.712646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53769948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.807911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31546 KachelY 38668 -0.11715778 -0.53769948 -6.712646 -30.807911
    Oben rechts KachelX + 1 31547 KachelY 38668 -0.11706191 -0.53769948 -6.707153 -30.807911
    Unten links KachelX 31546 KachelY + 1 38669 -0.11715778 -0.53778182 -6.712646 -30.812629
    Unten rechts KachelX + 1 31547 KachelY + 1 38669 -0.11706191 -0.53778182 -6.707153 -30.812629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53769948--0.53778182) × R
    8.23399999999586e-05 × 6371000     		dl = 524.588139999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53769948--0.53778182) × R
    8.23399999999586e-05 × 6371000     		dr = 524.588139999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11715778--0.11706191) × cos(-0.53769948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.858889190787656 × 6371000     		do = 524.599013518285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11715778--0.11706191) × cos(-0.53778182) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.858847016501761 × 6371000     		du = 524.573253980252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53769948)-sin(-0.53778182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858889190787656-0.858847016501761)×R²
    abs(-0.11706191--0.11715778)×4.21742858954799e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.21742858954799e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.21742858954799e-05×40589641000000     		ar = 275191.664328703m²