Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31545 / 38596
↖ ↑ ↗
← S 30.467614°
W  6.718140°		 ← 526.50 m → S 30.467614°
W  6.712646°		 →
↑
526.44 m
↓
↑
526.44 m
↓
S 30.472348°
W  6.718140°		 ← 526.48 m →
277 163 m²		 S 30.472348°
W  6.712646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481346130371094 y=0.588935852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481346130371094 × 216)
    floor (0.481346130371094 × 65536)
    floor (31545.5)     		tx = 31545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588935852050781 × 216)
    floor (0.588935852050781 × 65536)
    floor (38596.5)     		ty = 38596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31545 / 38596 ti = "16/31545/38596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31545/38596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31545 ÷ 216
    31545 ÷ 65536     		x = 0.481338500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38596 ÷ 216
    38596 ÷ 65536     		y = 0.58892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481338500976562 × 2 - 1) × π
    -0.037322998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11725366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58892822265625 × 2 - 1) × π
    -0.1778564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.558752501971374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11725366} λ = -0.11725366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.558752501971374))-π/2
    2×atan(0.571922090687216)-π/2
    2×0.519518072748603-π/2
    1.03903614549721-1.57079632675     		φ = -0.53176018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11725366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.718140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53176018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.467614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31545 KachelY 38596 -0.11725366 -0.53176018 -6.718140 -30.467614
    Oben rechts KachelX + 1 31546 KachelY 38596 -0.11715778 -0.53176018 -6.712646 -30.467614
    Unten links KachelX 31545 KachelY + 1 38597 -0.11725366 -0.53184281 -6.718140 -30.472348
    Unten rechts KachelX + 1 31546 KachelY + 1 38597 -0.11715778 -0.53184281 -6.712646 -30.472348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53176018--0.53184281) × R
    8.26299999999724e-05 × 6371000     		dl = 526.435729999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53176018--0.53184281) × R
    8.26299999999724e-05 × 6371000     		dr = 526.435729999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11725366--0.11715778) × cos(-0.53176018) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.861915904709125 × 6371000     		do = 526.502606027068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11725366--0.11715778) × cos(-0.53184281) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.861874004121675 × 6371000     		du = 526.477010991211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53176018)-sin(-0.53184281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861915904709125-0.861874004121675)×R²
    abs(-0.11715778--0.11725366)×4.19005874499057e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.19005874499057e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.19005874499057e-05×40589641000000     		ar = 277163.046837532m²