Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31544 / 38610
↖ ↑ ↗
← S 30.533877°
W  6.723633°		 ← 526.09 m → S 30.533877°
W  6.718140°		 →
↑
526.12 m
↓
↑
526.12 m
↓
S 30.538608°
W  6.723633°		 ← 526.06 m →
276 778 m²		 S 30.538608°
W  6.718140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481330871582031 y=0.589149475097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481330871582031 × 216)
    floor (0.481330871582031 × 65536)
    floor (31544.5)     		tx = 31544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589149475097656 × 216)
    floor (0.589149475097656 × 65536)
    floor (38610.5)     		ty = 38610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31544 / 38610 ti = "16/31544/38610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31544/38610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31544 ÷ 216
    31544 ÷ 65536     		x = 0.4813232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38610 ÷ 216
    38610 ÷ 65536     		y = 0.589141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4813232421875 × 2 - 1) × π
    -0.037353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11734953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.17828369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.560094735160736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11734953} λ = -0.11734953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560094735160736))-π/2
    2×atan(0.571154952829486)-π/2
    2×0.518939823606157-π/2
    1.03787964721231-1.57079632675     		φ = -0.53291668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11734953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53291668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.533877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31544 KachelY 38610 -0.11734953 -0.53291668 -6.723633 -30.533877
    Oben rechts KachelX + 1 31545 KachelY 38610 -0.11725366 -0.53291668 -6.718140 -30.533877
    Unten links KachelX 31544 KachelY + 1 38611 -0.11734953 -0.53299926 -6.723633 -30.538608
    Unten rechts KachelX + 1 31545 KachelY + 1 38611 -0.11725366 -0.53299926 -6.718140 -30.538608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53291668--0.53299926) × R
    8.25799999999433e-05 × 6371000     		dl = 526.117179999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53291668--0.53299926) × R
    8.25799999999433e-05 × 6371000     		dr = 526.117179999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11734953--0.11725366) × cos(-0.53291668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.861328923662846 × 6371000     		do = 526.089172520518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11734953--0.11725366) × cos(-0.53299926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.861286966145322 × 6371000     		du = 526.063545381955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53291668)-sin(-0.53299926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861328923662846-0.861286966145322)×R²
    abs(-0.11725366--0.11734953)×4.1957517523894e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.1957517523894e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.1957517523894e-05×40589641000000     		ar = 276777.810593191m²