Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31544 / 38579
↖ ↑ ↗
← S 30.387092°
W  6.723633°		 ← 526.88 m → S 30.387092°
W  6.718140°		 →
↑
526.88 m
↓
↑
526.88 m
↓
S 30.391830°
W  6.723633°		 ← 526.86 m →
277 598 m²		 S 30.391830°
W  6.718140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481330871582031 y=0.588676452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481330871582031 × 216)
    floor (0.481330871582031 × 65536)
    floor (31544.5)     		tx = 31544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588676452636719 × 216)
    floor (0.588676452636719 × 65536)
    floor (38579.5)     		ty = 38579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31544 / 38579 ti = "16/31544/38579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31544/38579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31544 ÷ 216
    31544 ÷ 65536     		x = 0.4813232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38579 ÷ 216
    38579 ÷ 65536     		y = 0.588668823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4813232421875 × 2 - 1) × π
    -0.037353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11734953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588668823242188 × 2 - 1) × π
    -0.177337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.557122647384293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11734953} λ = -0.11734953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557122647384293))-π/2
    2×atan(0.572855000577391)-π/2
    2×0.520220761630397-π/2
    1.04044152326079-1.57079632675     		φ = -0.53035480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11734953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53035480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.387092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31544 KachelY 38579 -0.11734953 -0.53035480 -6.723633 -30.387092
    Oben rechts KachelX + 1 31545 KachelY 38579 -0.11725366 -0.53035480 -6.718140 -30.387092
    Unten links KachelX 31544 KachelY + 1 38580 -0.11734953 -0.53043750 -6.723633 -30.391830
    Unten rechts KachelX + 1 31545 KachelY + 1 38580 -0.11725366 -0.53043750 -6.718140 -30.391830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53035480--0.53043750) × R
    8.26999999999911e-05 × 6371000     		dl = 526.881699999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53035480--0.53043750) × R
    8.26999999999911e-05 × 6371000     		dr = 526.881699999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11734953--0.11725366) × cos(-0.53035480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.862627652982677 × 6371000     		do = 526.882420505611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11734953--0.11725366) × cos(-0.53043750) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.862585817111708 × 6371000     		du = 526.856867667276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53035480)-sin(-0.53043750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862627652982677-0.862585817111708)×R²
    abs(-0.11725366--0.11734953)×4.18358709688427e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.18358709688427e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.18358709688427e-05×40589641000000     		ar = 277597.973912794m²