Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31543 / 38577
↖ ↑ ↗
← S 30.377614°
W  6.729126°		 ← 526.93 m → S 30.377614°
W  6.723633°		 →
↑
526.95 m
↓
↑
526.95 m
↓
S 30.382353°
W  6.729126°		 ← 526.91 m →
277 658 m²		 S 30.382353°
W  6.723633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481315612792969 y=0.588645935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481315612792969 × 216)
    floor (0.481315612792969 × 65536)
    floor (31543.5)     		tx = 31543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588645935058594 × 216)
    floor (0.588645935058594 × 65536)
    floor (38577.5)     		ty = 38577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31543 / 38577 ti = "16/31543/38577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31543/38577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31543 ÷ 216
    31543 ÷ 65536     		x = 0.481307983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38577 ÷ 216
    38577 ÷ 65536     		y = 0.588638305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481307983398438 × 2 - 1) × π
    -0.037384033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11744540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588638305664062 × 2 - 1) × π
    -0.177276611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.556930899785812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11744540} λ = -0.11744540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556930899785812))-π/2
    2×atan(0.572964854679823)-π/2
    2×0.520303469031244-π/2
    1.04060693806249-1.57079632675     		φ = -0.53018939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11744540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.729126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53018939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.377614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31543 KachelY 38577 -0.11744540 -0.53018939 -6.729126 -30.377614
    Oben rechts KachelX + 1 31544 KachelY 38577 -0.11734953 -0.53018939 -6.723633 -30.377614
    Unten links KachelX 31543 KachelY + 1 38578 -0.11744540 -0.53027210 -6.729126 -30.382353
    Unten rechts KachelX + 1 31544 KachelY + 1 38578 -0.11734953 -0.53027210 -6.723633 -30.382353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53018939--0.53027210) × R
    8.27100000000414e-05 × 6371000     		dl = 526.945410000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53018939--0.53027210) × R
    8.27100000000414e-05 × 6371000     		dr = 526.945410000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11744540--0.11734953) × cos(-0.53018939) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.862711312082014 × 6371000     		do = 526.933518460412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11744540--0.11734953) × cos(-0.53027210) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.862669482953885 × 6371000     		du = 526.907969740521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53018939)-sin(-0.53027210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862711312082014-0.862669482953885)×R²
    abs(-0.11734953--0.11744540)×4.18291281288896e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.18291281288896e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.18291281288896e-05×40589641000000     		ar = 277658.467695717m²