Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31541 / 38657
↖ ↑ ↗
← S 30.755999°
W  6.740112°		 ← 524.88 m → S 30.755999°
W  6.734619°		 →
↑
524.91 m
↓
↑
524.91 m
↓
S 30.760719°
W  6.740112°		 ← 524.86 m →
275 507 m²		 S 30.760719°
W  6.734619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481285095214844 y=0.589866638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481285095214844 × 216)
    floor (0.481285095214844 × 65536)
    floor (31541.5)     		tx = 31541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589866638183594 × 216)
    floor (0.589866638183594 × 65536)
    floor (38657.5)     		ty = 38657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31541 / 38657 ti = "16/31541/38657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31541/38657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31541 ÷ 216
    31541 ÷ 65536     		x = 0.481277465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38657 ÷ 216
    38657 ÷ 65536     		y = 0.589859008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481277465820312 × 2 - 1) × π
    -0.037445068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11763715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589859008789062 × 2 - 1) × π
    -0.179718017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.564600803725021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11763715} λ = -0.11763715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564600803725021))-π/2
    2×atan(0.568587079303272)-π/2
    2×0.517001444486376-π/2
    1.03400288897275-1.57079632675     		φ = -0.53679344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11763715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.740112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53679344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.755999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31541 KachelY 38657 -0.11763715 -0.53679344 -6.740112 -30.755999
    Oben rechts KachelX + 1 31542 KachelY 38657 -0.11754128 -0.53679344 -6.734619 -30.755999
    Unten links KachelX 31541 KachelY + 1 38658 -0.11763715 -0.53687583 -6.740112 -30.760719
    Unten rechts KachelX + 1 31542 KachelY + 1 38658 -0.11754128 -0.53687583 -6.734619 -30.760719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53679344--0.53687583) × R
    8.23900000000988e-05 × 6371000     		dl = 524.906690000629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53679344--0.53687583) × R
    8.23900000000988e-05 × 6371000     		dr = 524.906690000629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11763715--0.11754128) × cos(-0.53679344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859352876955903 × 6371000     		do = 524.882227358969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11763715--0.11754128) × cos(-0.53687583) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859310741189041 × 6371000     		du = 524.85649134789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53679344)-sin(-0.53687583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859352876955903-0.859310741189041)×R²
    abs(-0.11754128--0.11763715)×4.21357668619615e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.21357668619615e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.21357668619615e-05×40589641000000     		ar = 275507.438256794m²