Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31540 / 14550
↖ ↑ ↗
← N 70.218593°
W  6.745606°		 ← 206.73 m → N 70.218593°
W  6.740112°		 →
↑
206.74 m
↓
↑
206.74 m
↓
N 70.216734°
W  6.745606°		 ← 206.75 m →
42 741 m²		 N 70.216734°
W  6.740112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481269836425781 y=0.222023010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481269836425781 × 216)
    floor (0.481269836425781 × 65536)
    floor (31540.5)     		tx = 31540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222023010253906 × 216)
    floor (0.222023010253906 × 65536)
    floor (14550.5)     		ty = 14550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31540 / 14550 ti = "16/31540/14550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31540/14550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31540 ÷ 216
    31540 ÷ 65536     		x = 0.48126220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14550 ÷ 216
    14550 ÷ 65536     		y = 0.222015380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48126220703125 × 2 - 1) × π
    -0.0374755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11773303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222015380859375 × 2 - 1) × π
    0.55596923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74662887455637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11773303} λ = -0.11773303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74662887455637))-π/2
    2×atan(5.73523585084634)-π/2
    2×1.39817098642094-π/2
    2.79634197284189-1.57079632675     		φ = 1.22554565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11773303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.745606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22554565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.218593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31540 KachelY 14550 -0.11773303 1.22554565 -6.745606 70.218593
    Oben rechts KachelX + 1 31541 KachelY 14550 -0.11763715 1.22554565 -6.740112 70.218593
    Unten links KachelX 31540 KachelY + 1 14551 -0.11773303 1.22551320 -6.745606 70.216734
    Unten rechts KachelX + 1 31541 KachelY + 1 14551 -0.11763715 1.22551320 -6.740112 70.216734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22554565-1.22551320) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dl = 206.738949999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22554565-1.22551320) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dr = 206.738949999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11773303--0.11763715) × cos(1.22554565) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.33843257239759 × 6371000     		do = 206.732037729289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11773303--0.11763715) × cos(1.22551320) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.338463107365829 × 6371000     		du = 206.75069005983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22554565)-sin(1.22551320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33843257239759-0.338463107365829)×R²
    abs(-0.11763715--0.11773303)×3.05349682390155e-05×R²
    9.58800000000065e-05×3.05349682390155e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.05349682390155e-05×40589641000000     		ar = 42741.4924966472m²