Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31539 / 14550
↖ ↑ ↗
← N 70.218593°
W  6.751099°		 ← 206.71 m → N 70.218593°
W  6.745606°		 →
↑
206.74 m
↓
↑
206.74 m
↓
N 70.216734°
W  6.751099°		 ← 206.73 m →
42 737 m²		 N 70.216734°
W  6.745606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481254577636719 y=0.222023010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481254577636719 × 216)
    floor (0.481254577636719 × 65536)
    floor (31539.5)     		tx = 31539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222023010253906 × 216)
    floor (0.222023010253906 × 65536)
    floor (14550.5)     		ty = 14550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31539 / 14550 ti = "16/31539/14550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31539/14550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31539 ÷ 216
    31539 ÷ 65536     		x = 0.481246948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14550 ÷ 216
    14550 ÷ 65536     		y = 0.222015380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481246948242188 × 2 - 1) × π
    -0.037506103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11782890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222015380859375 × 2 - 1) × π
    0.55596923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74662887455637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11782890} λ = -0.11782890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74662887455637))-π/2
    2×atan(5.73523585084634)-π/2
    2×1.39817098642094-π/2
    2.79634197284189-1.57079632675     		φ = 1.22554565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11782890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.751099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22554565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.218593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31539 KachelY 14550 -0.11782890 1.22554565 -6.751099 70.218593
    Oben rechts KachelX + 1 31540 KachelY 14550 -0.11773303 1.22554565 -6.745606 70.218593
    Unten links KachelX 31539 KachelY + 1 14551 -0.11782890 1.22551320 -6.751099 70.216734
    Unten rechts KachelX + 1 31540 KachelY + 1 14551 -0.11773303 1.22551320 -6.745606 70.216734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22554565-1.22551320) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dl = 206.738949999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22554565-1.22551320) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dr = 206.738949999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11782890--0.11773303) × cos(1.22554565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33843257239759 × 6371000     		do = 206.710476190083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11782890--0.11773303) × cos(1.22551320) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338463107365829 × 6371000     		du = 206.729126575241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22554565)-sin(1.22551320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33843257239759-0.338463107365829)×R²
    abs(-0.11773303--0.11782890)×3.05349682390155e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05349682390155e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05349682390155e-05×40589641000000     		ar = 42737.0346855778m²