Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31534 / 38543
↖ ↑ ↗
← S 30.216355°
W  6.778565°		 ← 527.86 m → S 30.216355°
W  6.773071°		 →
↑
527.77 m
↓
↑
527.77 m
↓
S 30.221102°
W  6.778565°		 ← 527.83 m →
278 582 m²		 S 30.221102°
W  6.773071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481178283691406 y=0.588127136230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481178283691406 × 216)
    floor (0.481178283691406 × 65536)
    floor (31534.5)     		tx = 31534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588127136230469 × 216)
    floor (0.588127136230469 × 65536)
    floor (38543.5)     		ty = 38543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31534 / 38543 ti = "16/31534/38543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31534/38543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31534 ÷ 216
    31534 ÷ 65536     		x = 0.481170654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38543 ÷ 216
    38543 ÷ 65536     		y = 0.588119506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481170654296875 × 2 - 1) × π
    -0.03765869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11830827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588119506835938 × 2 - 1) × π
    -0.176239013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.553671190611649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11830827} λ = -0.11830827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553671190611649))-π/2
    2×atan(0.574835600860841)-π/2
    2×0.521710720721276-π/2
    1.04342144144255-1.57079632675     		φ = -0.52737489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11830827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.778565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52737489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.216355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31534 KachelY 38543 -0.11830827 -0.52737489 -6.778565 -30.216355
    Oben rechts KachelX + 1 31535 KachelY 38543 -0.11821239 -0.52737489 -6.773071 -30.216355
    Unten links KachelX 31534 KachelY + 1 38544 -0.11830827 -0.52745773 -6.778565 -30.221102
    Unten rechts KachelX + 1 31535 KachelY + 1 38544 -0.11821239 -0.52745773 -6.773071 -30.221102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52737489--0.52745773) × R
    8.28399999999174e-05 × 6371000     		dl = 527.773639999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52737489--0.52745773) × R
    8.28399999999174e-05 × 6371000     		dr = 527.773639999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11830827--0.11821239) × cos(-0.52737489) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.864131176732476 × 6371000     		do = 527.855808221134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11830827--0.11821239) × cos(-0.52745773) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.864089483159158 × 6371000     		du = 527.830339640166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52737489)-sin(-0.52745773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864131176732476-0.864089483159158)×R²
    abs(-0.11821239--0.11830827)×4.16935733185131e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.16935733185131e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.16935733185131e-05×40589641000000     		ar = 278581.660635877m²