Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31532 / 38555
↖ ↑ ↗
← S 30.273301°
W  6.789551°		 ← 527.55 m → S 30.273301°
W  6.784057°		 →
↑
527.52 m
↓
↑
527.52 m
↓
S 30.278045°
W  6.789551°		 ← 527.52 m →
278 286 m²		 S 30.278045°
W  6.784057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481147766113281 y=0.588310241699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481147766113281 × 216)
    floor (0.481147766113281 × 65536)
    floor (31532.5)     		tx = 31532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588310241699219 × 216)
    floor (0.588310241699219 × 65536)
    floor (38555.5)     		ty = 38555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31532 / 38555 ti = "16/31532/38555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31532/38555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31532 ÷ 216
    31532 ÷ 65536     		x = 0.48114013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38555 ÷ 216
    38555 ÷ 65536     		y = 0.588302612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48114013671875 × 2 - 1) × π
    -0.0377197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11850002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588302612304688 × 2 - 1) × π
    -0.176605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.55482167620253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11850002} λ = -0.11850002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55482167620253))-π/2
    2×atan(0.574174641070187)-π/2
    2×0.521213779446681-π/2
    1.04242755889336-1.57079632675     		φ = -0.52836877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11850002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.789551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52836877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.273301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31532 KachelY 38555 -0.11850002 -0.52836877 -6.789551 -30.273301
    Oben rechts KachelX + 1 31533 KachelY 38555 -0.11840414 -0.52836877 -6.784057 -30.273301
    Unten links KachelX 31532 KachelY + 1 38556 -0.11850002 -0.52845157 -6.789551 -30.278045
    Unten rechts KachelX + 1 31533 KachelY + 1 38556 -0.11840414 -0.52845157 -6.784057 -30.278045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52836877--0.52845157) × R
    8.27999999999385e-05 × 6371000     		dl = 527.518799999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52836877--0.52845157) × R
    8.27999999999385e-05 × 6371000     		dr = 527.518799999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11850002--0.11840414) × cos(-0.52836877) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.863630563374926 × 6371000     		do = 527.550007810767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11850002--0.11840414) × cos(-0.52845157) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.863588818845269 × 6371000     		du = 527.524508103044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52836877)-sin(-0.52845157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863630563374926-0.863588818845269)×R²
    abs(-0.11840414--0.11850002)×4.17445296565511e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.17445296565511e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.17445296565511e-05×40589641000000     		ar = 278285.821431482m²