Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31532 / 19372
↖ ↑ ↗
← N 77.515999°
W 93.394775°		 ← 66.01 m → N 77.515999°
W 93.392029°		 →
↑
66 m
↓
↑
66 m
↓
N 77.515406°
W 93.394775°		 ← 66.01 m →
4 357 m²		 N 77.515406°
W 93.392029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.240573883056641 y=0.147800445556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.240573883056641 × 217)
    floor (0.240573883056641 × 131072)
    floor (31532.5)     		tx = 31532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147800445556641 × 217)
    floor (0.147800445556641 × 131072)
    floor (19372.5)     		ty = 19372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31532 / 19372 ti = "17/31532/19372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31532/19372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31532 ÷ 217
    31532 ÷ 131072     		x = 0.240570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19372 ÷ 217
    19372 ÷ 131072     		y = 0.147796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.240570068359375 × 2 - 1) × π
    -0.51885986328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.63004633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147796630859375 × 2 - 1) × π
    0.70440673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21295903406027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63004633} λ = -1.63004633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21295903406027))-π/2
    2×atan(9.14273005579448)-π/2
    2×1.46185286742829-π/2
    2.92370573485657-1.57079632675     		φ = 1.35290941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63004633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.394775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35290941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.515999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31532 KachelY 19372 -1.63004633 1.35290941 -93.394775 77.515999
    Oben rechts KachelX + 1 31533 KachelY 19372 -1.62999840 1.35290941 -93.392029 77.515999
    Unten links KachelX 31532 KachelY + 1 19373 -1.63004633 1.35289905 -93.394775 77.515406
    Unten rechts KachelX + 1 31533 KachelY + 1 19373 -1.62999840 1.35289905 -93.392029 77.515406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35290941-1.35289905) × R
    1.03600000000981e-05 × 6371000     		dl = 66.0035600006248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35290941-1.35289905) × R
    1.03600000000981e-05 × 6371000     		dr = 66.0035600006248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63004633--1.62999840) × cos(1.35290941) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216166984894797 × 6371000     		do = 66.0091893264949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63004633--1.62999840) × cos(1.35289905) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216177099935579 × 6371000     		du = 66.0122780758816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35290941)-sin(1.35289905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216166984894797-0.216177099935579)×R²
    abs(-1.62999840--1.63004633)×1.01150407819939e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01150407819939e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01150407819939e-05×40589641000000     		ar = 4356.94342276237m²