Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31530 / 19463
↖ ↑ ↗
← N 58.793825°
W  6.800537°		 ← 316.46 m → N 58.793825°
W  6.795044°		 →
↑
316.51 m
↓
↑
316.51 m
↓
N 58.790978°
W  6.800537°		 ← 316.49 m →
100 168 m²		 N 58.790978°
W  6.795044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481117248535156 y=0.296989440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481117248535156 × 216)
    floor (0.481117248535156 × 65536)
    floor (31530.5)     		tx = 31530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296989440917969 × 216)
    floor (0.296989440917969 × 65536)
    floor (19463.5)     		ty = 19463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31530 / 19463 ti = "16/31530/19463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31530/19463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31530 ÷ 216
    31530 ÷ 65536     		x = 0.481109619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19463 ÷ 216
    19463 ÷ 65536     		y = 0.296981811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481109619140625 × 2 - 1) × π
    -0.03778076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11869176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296981811523438 × 2 - 1) × π
    0.406036376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27560089888969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11869176} λ = -0.11869176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27560089888969))-π/2
    2×atan(3.5808524940327)-π/2
    2×1.29847107326302-π/2
    2.59694214652603-1.57079632675     		φ = 1.02614582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11869176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.800537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02614582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.793825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31530 KachelY 19463 -0.11869176 1.02614582 -6.800537 58.793825
    Oben rechts KachelX + 1 31531 KachelY 19463 -0.11859589 1.02614582 -6.795044 58.793825
    Unten links KachelX 31530 KachelY + 1 19464 -0.11869176 1.02609614 -6.800537 58.790978
    Unten rechts KachelX + 1 31531 KachelY + 1 19464 -0.11859589 1.02609614 -6.795044 58.790978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02614582-1.02609614) × R
    4.96800000000519e-05 × 6371000     		dl = 316.511280000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02614582-1.02609614) × R
    4.96800000000519e-05 × 6371000     		dr = 316.511280000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11869176--0.11859589) × cos(1.02614582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.518119197671757 × 6371000     		do = 316.460869340114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11869176--0.11859589) × cos(1.02609614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.518161688754766 × 6371000     		du = 316.486822373951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02614582)-sin(1.02609614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518119197671757-0.518161688754766)×R²
    abs(-0.11859589--0.11869176)×4.2491083009466e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2491083009466e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2491083009466e-05×40589641000000     		ar = 100167.542059204m²