Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31530 / 14525
↖ ↑ ↗
← N 70.265017°
W  6.800537°		 ← 206.24 m → N 70.265017°
W  6.795044°		 →
↑
206.23 m
↓
↑
206.23 m
↓
N 70.263163°
W  6.800537°		 ← 206.26 m →
42 536 m²		 N 70.263163°
W  6.795044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481117248535156 y=0.221641540527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481117248535156 × 216)
    floor (0.481117248535156 × 65536)
    floor (31530.5)     		tx = 31530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221641540527344 × 216)
    floor (0.221641540527344 × 65536)
    floor (14525.5)     		ty = 14525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31530 / 14525 ti = "16/31530/14525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31530/14525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31530 ÷ 216
    31530 ÷ 65536     		x = 0.481109619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14525 ÷ 216
    14525 ÷ 65536     		y = 0.221633911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481109619140625 × 2 - 1) × π
    -0.03778076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11869176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221633911132812 × 2 - 1) × π
    0.556732177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74902571953737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11869176} λ = -0.11869176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74902571953737))-π/2
    2×atan(5.74899880936046)-π/2
    2×1.39857611455079-π/2
    2.79715222910157-1.57079632675     		φ = 1.22635590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11869176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.800537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22635590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.265017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31530 KachelY 14525 -0.11869176 1.22635590 -6.800537 70.265017
    Oben rechts KachelX + 1 31531 KachelY 14525 -0.11859589 1.22635590 -6.795044 70.265017
    Unten links KachelX 31530 KachelY + 1 14526 -0.11869176 1.22632353 -6.800537 70.263163
    Unten rechts KachelX + 1 31531 KachelY + 1 14526 -0.11859589 1.22632353 -6.795044 70.263163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22635590-1.22632353) × R
    3.23700000000038e-05 × 6371000     		dl = 206.229270000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22635590-1.22632353) × R
    3.23700000000038e-05 × 6371000     		dr = 206.229270000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11869176--0.11859589) × cos(1.22635590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337670023719576 × 6371000     		do = 206.244720783523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11869176--0.11859589) × cos(1.22632353) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337700492276181 × 6371000     		du = 206.263330605266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22635590)-sin(1.22632353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337670023719576-0.337700492276181)×R²
    abs(-0.11859589--0.11869176)×3.04685566043239e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04685566043239e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04685566043239e-05×40589641000000     		ar = 42535.6171573347m²