Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3153 / 3090
↖ ↑ ↗
← S 67.135829°
E 97.119141°		 ← 3 797.27 m → S 67.135829°
E 97.207031°		 →
↑
3 794.57 m
↓
↑
3 794.57 m
↓
S 67.169955°
E 97.119141°		 ← 3 791.91 m →
14 398 831 m²		 S 67.169955°
E 97.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7698974609375 y=0.7545166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7698974609375 × 212)
    floor (0.7698974609375 × 4096)
    floor (3153.5)     		tx = 3153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7545166015625 × 212)
    floor (0.7545166015625 × 4096)
    floor (3090.5)     		ty = 3090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3153 / 3090 ti = "12/3153/3090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3153/3090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3153 ÷ 212
    3153 ÷ 4096     		x = 0.769775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3090 ÷ 212
    3090 ÷ 4096     		y = 0.75439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769775390625 × 2 - 1) × π
    0.53955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69504877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75439453125 × 2 - 1) × π
    -0.5087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59840798093115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69504877} λ = 1.69504877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59840798093115))-π/2
    2×atan(0.202218197092924)-π/2
    2×0.199527528990831-π/2
    0.399055057981662-1.57079632675     		φ = -1.17174127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69504877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.119141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17174127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.135829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3153 KachelY 3090 1.69504877 -1.17174127 97.119141 -67.135829
    Oben rechts KachelX + 1 3154 KachelY 3090 1.69658275 -1.17174127 97.207031 -67.135829
    Unten links KachelX 3153 KachelY + 1 3091 1.69504877 -1.17233687 97.119141 -67.169955
    Unten rechts KachelX + 1 3154 KachelY + 1 3091 1.69658275 -1.17233687 97.207031 -67.169955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17174127--1.17233687) × R
    0.000595600000000029 × 6371000     		dl = 3794.56760000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17174127--1.17233687) × R
    0.000595600000000029 × 6371000     		dr = 3794.56760000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69504877-1.69658275) × cos(-1.17174127) × R
    0.00153397999999982 × 0.388547818251162 × 6371000     		do = 3797.27261345645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69504877-1.69658275) × cos(-1.17233687) × R
    0.00153397999999982 × 0.387998946516108 × 6371000     		du = 3791.90849735562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17174127)-sin(-1.17233687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388547818251162-0.387998946516108)×R²
    abs(1.69658275-1.69504877)×0.000548871735054357×R²
    0.00153397999999982×0.000548871735054357×6371000²
    0.00153397999999982×0.000548871735054357×40589641000000     		ar = 14398830.8024634m²