Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31529 / 38826
↖ ↑ ↗
← S 31.550453°
W  6.806030°		 ← 520.56 m → S 31.550453°
W  6.800537°		 →
↑
520.51 m
↓
↑
520.51 m
↓
S 31.555134°
W  6.806030°		 ← 520.53 m →
270 948 m²		 S 31.555134°
W  6.800537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481101989746094 y=0.592445373535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481101989746094 × 216)
    floor (0.481101989746094 × 65536)
    floor (31529.5)     		tx = 31529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592445373535156 × 216)
    floor (0.592445373535156 × 65536)
    floor (38826.5)     		ty = 38826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31529 / 38826 ti = "16/31529/38826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31529/38826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31529 ÷ 216
    31529 ÷ 65536     		x = 0.481094360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38826 ÷ 216
    38826 ÷ 65536     		y = 0.592437744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481094360351562 × 2 - 1) × π
    -0.037811279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11878764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.18487548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.5808034757966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11878764} λ = -0.11878764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.5808034757966))-π/2
    2×atan(0.559448682458651)-π/2
    2×0.510068523563706-π/2
    1.02013704712741-1.57079632675     		φ = -0.55065928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11878764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.806030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55065928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.550453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31529 KachelY 38826 -0.11878764 -0.55065928 -6.806030 -31.550453
    Oben rechts KachelX + 1 31530 KachelY 38826 -0.11869176 -0.55065928 -6.800537 -31.550453
    Unten links KachelX 31529 KachelY + 1 38827 -0.11878764 -0.55074098 -6.806030 -31.555134
    Unten rechts KachelX + 1 31530 KachelY + 1 38827 -0.11869176 -0.55074098 -6.800537 -31.555134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55065928--0.55074098) × R
    8.17000000000734e-05 × 6371000     		dl = 520.510700000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55065928--0.55074098) × R
    8.17000000000734e-05 × 6371000     		dr = 520.510700000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11878764--0.11869176) × cos(-0.55065928) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.852179739573244 × 6371000     		do = 520.555255144366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11878764--0.11869176) × cos(-0.55074098) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.85213698727219 × 6371000     		du = 520.529139837994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55065928)-sin(-0.55074098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852179739573244-0.85213698727219)×R²
    abs(-0.11869176--0.11878764)×4.27523010535502e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.27523010535502e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.27523010535502e-05×40589641000000     		ar = 270947.783746683m²