Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31529 / 19462
↖ ↑ ↗
← N 58.796671°
W  6.806030°		 ← 316.47 m → N 58.796671°
W  6.800537°		 →
↑
316.45 m
↓
↑
316.45 m
↓
N 58.793825°
W  6.806030°		 ← 316.49 m →
100 150 m²		 N 58.793825°
W  6.800537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481101989746094 y=0.296974182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481101989746094 × 216)
    floor (0.481101989746094 × 65536)
    floor (31529.5)     		tx = 31529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296974182128906 × 216)
    floor (0.296974182128906 × 65536)
    floor (19462.5)     		ty = 19462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31529 / 19462 ti = "16/31529/19462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31529/19462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31529 ÷ 216
    31529 ÷ 65536     		x = 0.481094360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19462 ÷ 216
    19462 ÷ 65536     		y = 0.296966552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481094360351562 × 2 - 1) × π
    -0.037811279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11878764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296966552734375 × 2 - 1) × π
    0.40606689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27569677268893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11878764} λ = -0.11878764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27569677268893))-π/2
    2×atan(3.58119582042356)-π/2
    2×1.29849590927268-π/2
    2.59699181854535-1.57079632675     		φ = 1.02619549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11878764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.806030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02619549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.796671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31529 KachelY 19462 -0.11878764 1.02619549 -6.806030 58.796671
    Oben rechts KachelX + 1 31530 KachelY 19462 -0.11869176 1.02619549 -6.800537 58.796671
    Unten links KachelX 31529 KachelY + 1 19463 -0.11878764 1.02614582 -6.806030 58.793825
    Unten rechts KachelX + 1 31530 KachelY + 1 19463 -0.11869176 1.02614582 -6.800537 58.793825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02619549-1.02614582) × R
    4.96700000001127e-05 × 6371000     		dl = 316.447570000718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02619549-1.02614582) × R
    4.96700000001127e-05 × 6371000     		dr = 316.447570000718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11878764--0.11869176) × cos(1.02619549) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.518076713863317 × 6371000     		do = 316.467927416965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11878764--0.11869176) × cos(1.02614582) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.518119197671757 × 6371000     		du = 316.493878714227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02619549)-sin(1.02614582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518076713863317-0.518119197671757)×R²
    abs(-0.11869176--0.11878764)×4.24838084391865e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.24838084391865e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.24838084391865e-05×40589641000000     		ar = 100149.612747401m²