Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31528 / 38823
↖ ↑ ↗
← S 31.536408°
W  6.811523°		 ← 520.58 m → S 31.536408°
W  6.806030°		 →
↑
520.57 m
↓
↑
520.57 m
↓
S 31.541090°
W  6.811523°		 ← 520.55 m →
270 993 m²		 S 31.541090°
W  6.806030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481086730957031 y=0.592399597167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481086730957031 × 216)
    floor (0.481086730957031 × 65536)
    floor (31528.5)     		tx = 31528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592399597167969 × 216)
    floor (0.592399597167969 × 65536)
    floor (38823.5)     		ty = 38823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31528 / 38823 ti = "16/31528/38823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31528/38823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31528 ÷ 216
    31528 ÷ 65536     		x = 0.4810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38823 ÷ 216
    38823 ÷ 65536     		y = 0.592391967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11888351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592391967773438 × 2 - 1) × π
    -0.184783935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.58051585439888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11888351} λ = -0.11888351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58051585439888))-π/2
    2×atan(0.559609615013366)-π/2
    2×0.510191085348806-π/2
    1.02038217069761-1.57079632675     		φ = -0.55041416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11888351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55041416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.536408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31528 KachelY 38823 -0.11888351 -0.55041416 -6.811523 -31.536408
    Oben rechts KachelX + 1 31529 KachelY 38823 -0.11878764 -0.55041416 -6.806030 -31.536408
    Unten links KachelX 31528 KachelY + 1 38824 -0.11888351 -0.55049587 -6.811523 -31.541090
    Unten rechts KachelX + 1 31529 KachelY + 1 38824 -0.11878764 -0.55049587 -6.806030 -31.541090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55041416--0.55049587) × R
    8.17100000000126e-05 × 6371000     		dl = 520.57441000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55041416--0.55049587) × R
    8.17100000000126e-05 × 6371000     		dr = 520.57441000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11888351--0.11878764) × cos(-0.55041416) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.852307972806833 × 6371000     		do = 520.579286063895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11888351--0.11878764) × cos(-0.55049587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.852265232341547 × 6371000     		du = 520.553180710414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55041416)-sin(-0.55049587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852307972806833-0.852265232341547)×R²
    abs(-0.11878764--0.11888351)×4.2740465285962e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2740465285962e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2740465285962e-05×40589641000000     		ar = 270993.459962356m²