Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31528 / 19461
↖ ↑ ↗
← N 58.799516°
W  6.811523°		 ← 316.41 m → N 58.799516°
W  6.806030°		 →
↑
316.45 m
↓
↑
316.45 m
↓
N 58.796671°
W  6.811523°		 ← 316.43 m →
100 131 m²		 N 58.796671°
W  6.806030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481086730957031 y=0.296958923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481086730957031 × 216)
    floor (0.481086730957031 × 65536)
    floor (31528.5)     		tx = 31528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296958923339844 × 216)
    floor (0.296958923339844 × 65536)
    floor (19461.5)     		ty = 19461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31528 / 19461 ti = "16/31528/19461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31528/19461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31528 ÷ 216
    31528 ÷ 65536     		x = 0.4810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19461 ÷ 216
    19461 ÷ 65536     		y = 0.296951293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11888351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296951293945312 × 2 - 1) × π
    0.406097412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27579264648817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11888351} λ = -0.11888351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27579264648817))-π/2
    2×atan(3.58153917973201)-π/2
    2×1.29852074324576-π/2
    2.59704148649153-1.57079632675     		φ = 1.02624516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11888351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02624516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.799516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31528 KachelY 19461 -0.11888351 1.02624516 -6.811523 58.799516
    Oben rechts KachelX + 1 31529 KachelY 19461 -0.11878764 1.02624516 -6.806030 58.799516
    Unten links KachelX 31528 KachelY + 1 19462 -0.11888351 1.02619549 -6.811523 58.796671
    Unten rechts KachelX + 1 31529 KachelY + 1 19462 -0.11878764 1.02619549 -6.806030 58.796671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02624516-1.02619549) × R
    4.96699999998906e-05 × 6371000     		dl = 316.447569999303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02624516-1.02619549) × R
    4.96699999998906e-05 × 6371000     		dr = 316.447569999303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11888351--0.11878764) × cos(1.02624516) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.518034228776727 × 6371000     		do = 316.4089713782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11888351--0.11878764) × cos(1.02619549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.518076713863317 × 6371000     		du = 316.434920749497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02624516)-sin(1.02619549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518034228776727-0.518076713863317)×R²
    abs(-0.11878764--0.11888351)×4.24850865906601e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.24850865906601e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.24850865906601e-05×40589641000000     		ar = 100130.955946796m²