Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31528 / 19459
↖ ↑ ↗
← N 58.805207°
W  6.811523°		 ← 316.36 m → N 58.805207°
W  6.806030°		 →
↑
316.38 m
↓
↑
316.38 m
↓
N 58.802362°
W  6.811523°		 ← 316.38 m →
100 094 m²		 N 58.802362°
W  6.806030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481086730957031 y=0.296928405761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481086730957031 × 216)
    floor (0.481086730957031 × 65536)
    floor (31528.5)     		tx = 31528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296928405761719 × 216)
    floor (0.296928405761719 × 65536)
    floor (19459.5)     		ty = 19459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31528 / 19459 ti = "16/31528/19459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31528/19459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31528 ÷ 216
    31528 ÷ 65536     		x = 0.4810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19459 ÷ 216
    19459 ÷ 65536     		y = 0.296920776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11888351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296920776367188 × 2 - 1) × π
    0.406158447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27598439408665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11888351} λ = -0.11888351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27598439408665))-π/2
    2×atan(3.58222599711427)-π/2
    2×1.29857040508265-π/2
    2.59714081016529-1.57079632675     		φ = 1.02634448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11888351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02634448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.805207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31528 KachelY 19459 -0.11888351 1.02634448 -6.811523 58.805207
    Oben rechts KachelX + 1 31529 KachelY 19459 -0.11878764 1.02634448 -6.806030 58.805207
    Unten links KachelX 31528 KachelY + 1 19460 -0.11888351 1.02629482 -6.811523 58.802362
    Unten rechts KachelX + 1 31529 KachelY + 1 19460 -0.11878764 1.02629482 -6.806030 58.802362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02634448-1.02629482) × R
    4.96599999999514e-05 × 6371000     		dl = 316.38385999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02634448-1.02629482) × R
    4.96599999999514e-05 × 6371000     		dr = 316.38385999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11888351--0.11878764) × cos(1.02634448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.517949271877737 × 6371000     		do = 316.35708074332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11888351--0.11878764) × cos(1.02629482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.517991750965945 × 6371000     		du = 316.383026450878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02634448)-sin(1.02629482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517949271877737-0.517991750965945)×R²
    abs(-0.11878764--0.11888351)×4.24790882088688e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.24790882088688e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.24790882088688e-05×40589641000000     		ar = 100094.378766058m²