Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31526 / 38824
↖ ↑ ↗
← S 31.541090°
W  6.822510°		 ← 520.61 m → S 31.541090°
W  6.817016°		 →
↑
520.57 m
↓
↑
520.57 m
↓
S 31.545772°
W  6.822510°		 ← 520.58 m →
271 008 m²		 S 31.545772°
W  6.817016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481056213378906 y=0.592414855957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481056213378906 × 216)
    floor (0.481056213378906 × 65536)
    floor (31526.5)     		tx = 31526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592414855957031 × 216)
    floor (0.592414855957031 × 65536)
    floor (38824.5)     		ty = 38824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31526 / 38824 ti = "16/31526/38824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31526/38824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31526 ÷ 216
    31526 ÷ 65536     		x = 0.481048583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38824 ÷ 216
    38824 ÷ 65536     		y = 0.5924072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481048583984375 × 2 - 1) × π
    -0.03790283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11907526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5924072265625 × 2 - 1) × π
    -0.184814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.58061172819812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11907526} λ = -0.11907526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58061172819812))-π/2
    2×atan(0.559555965685307)-π/2
    2×0.510150229371403-π/2
    1.02030045874281-1.57079632675     		φ = -0.55049587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11907526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.822510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55049587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.541090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31526 KachelY 38824 -0.11907526 -0.55049587 -6.822510 -31.541090
    Oben rechts KachelX + 1 31527 KachelY 38824 -0.11897938 -0.55049587 -6.817016 -31.541090
    Unten links KachelX 31526 KachelY + 1 38825 -0.11907526 -0.55057758 -6.822510 -31.545772
    Unten rechts KachelX + 1 31527 KachelY + 1 38825 -0.11897938 -0.55057758 -6.817016 -31.545772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55049587--0.55057758) × R
    8.17100000000126e-05 × 6371000     		dl = 520.57441000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55049587--0.55057758) × R
    8.17100000000126e-05 × 6371000     		dr = 520.57441000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11907526--0.11897938) × cos(-0.55049587) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.852265232341547 × 6371000     		do = 520.607478528413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11907526--0.11897938) × cos(-0.55057758) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.852222486186092 × 6371000     		du = 520.581366976089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55049587)-sin(-0.55057758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852265232341547-0.852222486186092)×R²
    abs(-0.11897938--0.11907526)×4.27461554552977e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.27461554552977e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.27461554552977e-05×40589641000000     		ar = 271008.134624394m²