Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31524 / 38580
↖ ↑ ↗
← S 30.391830°
W  6.833496°		 ← 526.91 m → S 30.391830°
W  6.828003°		 →
↑
526.88 m
↓
↑
526.88 m
↓
S 30.396568°
W  6.833496°		 ← 526.89 m →
277 613 m²		 S 30.396568°
W  6.828003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481025695800781 y=0.588691711425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481025695800781 × 216)
    floor (0.481025695800781 × 65536)
    floor (31524.5)     		tx = 31524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588691711425781 × 216)
    floor (0.588691711425781 × 65536)
    floor (38580.5)     		ty = 38580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31524 / 38580 ti = "16/31524/38580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31524/38580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31524 ÷ 216
    31524 ÷ 65536     		x = 0.48101806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38580 ÷ 216
    38580 ÷ 65536     		y = 0.58868408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48101806640625 × 2 - 1) × π
    -0.0379638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11926701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58868408203125 × 2 - 1) × π
    -0.1773681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.557218521183533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11926701} λ = -0.11926701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557218521183533))-π/2
    2×atan(0.572800081424768)-π/2
    2×0.520179410938014-π/2
    1.04035882187603-1.57079632675     		φ = -0.53043750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11926701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.833496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53043750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.391830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31524 KachelY 38580 -0.11926701 -0.53043750 -6.833496 -30.391830
    Oben rechts KachelX + 1 31525 KachelY 38580 -0.11917113 -0.53043750 -6.828003 -30.391830
    Unten links KachelX 31524 KachelY + 1 38581 -0.11926701 -0.53052020 -6.833496 -30.396568
    Unten rechts KachelX + 1 31525 KachelY + 1 38581 -0.11917113 -0.53052020 -6.828003 -30.396568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53043750--0.53052020) × R
    8.26999999999911e-05 × 6371000     		dl = 526.881699999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53043750--0.53052020) × R
    8.26999999999911e-05 × 6371000     		dr = 526.881699999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11926701--0.11917113) × cos(-0.53043750) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.862585817111708 × 6371000     		do = 526.911823009732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11926701--0.11917113) × cos(-0.53052020) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.862543975341264 × 6371000     		du = 526.886263902331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53043750)-sin(-0.53052020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862585817111708-0.862543975341264)×R²
    abs(-0.11917113--0.11926701)×4.18417704434182e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.18417704434182e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.18417704434182e-05×40589641000000     		ar = 277613.463902716m²