Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31523 / 38819
↖ ↑ ↗
← S 31.517679°
W  6.838989°		 ← 520.68 m → S 31.517679°
W  6.833496°		 →
↑
520.70 m
↓
↑
520.70 m
↓
S 31.522362°
W  6.838989°		 ← 520.66 m →
271 114 m²		 S 31.522362°
W  6.833496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481010437011719 y=0.592338562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481010437011719 × 216)
    floor (0.481010437011719 × 65536)
    floor (31523.5)     		tx = 31523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592338562011719 × 216)
    floor (0.592338562011719 × 65536)
    floor (38819.5)     		ty = 38819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31523 / 38819 ti = "16/31523/38819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31523/38819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31523 ÷ 216
    31523 ÷ 65536     		x = 0.481002807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38819 ÷ 216
    38819 ÷ 65536     		y = 0.592330932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481002807617188 × 2 - 1) × π
    -0.037994384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11936288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592330932617188 × 2 - 1) × π
    -0.184661865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.58013235920192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11936288} λ = -0.11936288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58013235920192))-π/2
    2×atan(0.559824263768649)-π/2
    2×0.510354529744808-π/2
    1.02070905948962-1.57079632675     		φ = -0.55008727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11936288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.838989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55008727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.517679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31523 KachelY 38819 -0.11936288 -0.55008727 -6.838989 -31.517679
    Oben rechts KachelX + 1 31524 KachelY 38819 -0.11926701 -0.55008727 -6.833496 -31.517679
    Unten links KachelX 31523 KachelY + 1 38820 -0.11936288 -0.55016900 -6.838989 -31.522362
    Unten rechts KachelX + 1 31524 KachelY + 1 38820 -0.11926701 -0.55016900 -6.833496 -31.522362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55008727--0.55016900) × R
    8.17300000000021e-05 × 6371000     		dl = 520.701830000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55008727--0.55016900) × R
    8.17300000000021e-05 × 6371000     		dr = 520.701830000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11936288--0.11926701) × cos(-0.55008727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.852478903898659 × 6371000     		do = 520.683688684295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11936288--0.11926701) × cos(-0.55016900) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.852436175743761 × 6371000     		du = 520.657590849848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55008727)-sin(-0.55016900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852478903898659-0.852436175743761)×R²
    abs(-0.11926701--0.11936288)×4.27281548983638e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.27281548983638e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.27281548983638e-05×40589641000000     		ar = 271114.155104703m²