Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31523 / 19470
↖ ↑ ↗
← N 58.773896°
W  6.838989°		 ← 316.64 m → N 58.773896°
W  6.833496°		 →
↑
316.64 m
↓
↑
316.64 m
↓
N 58.771048°
W  6.838989°		 ← 316.67 m →
100 265 m²		 N 58.771048°
W  6.833496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481010437011719 y=0.297096252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481010437011719 × 216)
    floor (0.481010437011719 × 65536)
    floor (31523.5)     		tx = 31523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297096252441406 × 216)
    floor (0.297096252441406 × 65536)
    floor (19470.5)     		ty = 19470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31523 / 19470 ti = "16/31523/19470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31523/19470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31523 ÷ 216
    31523 ÷ 65536     		x = 0.481002807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19470 ÷ 216
    19470 ÷ 65536     		y = 0.297088623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481002807617188 × 2 - 1) × π
    -0.037994384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11936288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297088623046875 × 2 - 1) × π
    0.40582275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27492978229501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11936288} λ = -0.11936288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27492978229501))-π/2
    2×atan(3.57845013072396)-π/2
    2×1.2982971641625-π/2
    2.596594328325-1.57079632675     		φ = 1.02579800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11936288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.838989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02579800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.773896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31523 KachelY 19470 -0.11936288 1.02579800 -6.838989 58.773896
    Oben rechts KachelX + 1 31524 KachelY 19470 -0.11926701 1.02579800 -6.833496 58.773896
    Unten links KachelX 31523 KachelY + 1 19471 -0.11936288 1.02574830 -6.838989 58.771048
    Unten rechts KachelX + 1 31524 KachelY + 1 19471 -0.11926701 1.02574830 -6.833496 58.771048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02579800-1.02574830) × R
    4.96999999999304e-05 × 6371000     		dl = 316.638699999556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02579800-1.02574830) × R
    4.96999999999304e-05 × 6371000     		dr = 316.638699999556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11936288--0.11926701) × cos(1.02579800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.518416659700444 × 6371000     		do = 316.642555509276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11936288--0.11926701) × cos(1.02574830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.518459158929621 × 6371000     		du = 316.668513518692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02579800)-sin(1.02574830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518416659700444-0.518459158929621)×R²
    abs(-0.11926701--0.11936288)×4.24992291769843e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.24992291769843e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.24992291769843e-05×40589641000000     		ar = 100265.396816848m²