Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31523 / 14603
↖ ↑ ↗
← N 70.119827°
W  6.838989°		 ← 207.70 m → N 70.119827°
W  6.833496°		 →
↑
207.76 m
↓
↑
207.76 m
↓
N 70.117958°
W  6.838989°		 ← 207.72 m →
43 154 m²		 N 70.117958°
W  6.833496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481010437011719 y=0.222831726074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481010437011719 × 216)
    floor (0.481010437011719 × 65536)
    floor (31523.5)     		tx = 31523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222831726074219 × 216)
    floor (0.222831726074219 × 65536)
    floor (14603.5)     		ty = 14603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31523 / 14603 ti = "16/31523/14603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31523/14603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31523 ÷ 216
    31523 ÷ 65536     		x = 0.481002807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14603 ÷ 216
    14603 ÷ 65536     		y = 0.222824096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481002807617188 × 2 - 1) × π
    -0.037994384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11936288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222824096679688 × 2 - 1) × π
    0.554351806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74154756319664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11936288} λ = -0.11936288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74154756319664))-π/2
    2×atan(5.70616724762386)-π/2
    2×1.39730908727066-π/2
    2.79461817454132-1.57079632675     		φ = 1.22382185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11936288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.838989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22382185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.119827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31523 KachelY 14603 -0.11936288 1.22382185 -6.838989 70.119827
    Oben rechts KachelX + 1 31524 KachelY 14603 -0.11926701 1.22382185 -6.833496 70.119827
    Unten links KachelX 31523 KachelY + 1 14604 -0.11936288 1.22378924 -6.838989 70.117958
    Unten rechts KachelX + 1 31524 KachelY + 1 14604 -0.11926701 1.22378924 -6.833496 70.117958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22382185-1.22378924) × R
    3.26100000000995e-05 × 6371000     		dl = 207.758310000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22382185-1.22378924) × R
    3.26100000000995e-05 × 6371000     		dr = 207.758310000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11936288--0.11926701) × cos(1.22382185) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3400541484443 × 6371000     		do = 207.700915007539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11936288--0.11926701) × cos(1.22378924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340084814898487 × 6371000     		du = 207.719645702705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22382185)-sin(1.22378924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3400541484443-0.340084814898487)×R²
    abs(-0.11926701--0.11936288)×3.06664541868118e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06664541868118e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06664541868118e-05×40589641000000     		ar = 43153.536820179m²